Calcule nabla f e verifique em cada caso que este vetor é normal as curvas ou superfícies de nível.
(b) f(x, y) = exp(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o gradiente da função e verificar que esse vetor gradiente é normal (ou perpendicular) às curvas de nível dessa função. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e propriedades geométricas das funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos verificar que esse vetor gradiente é normal às curvas de nível de . As curvas de nível são as curvas onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é uma constante.
Para mostrar que é normal às curvas de nível, precisamos ver que o produto escalar do gradiente com qualquer vetor tangente à curva de nível é zero. Isso significa que os dois vetores são perpendiculares.
Vamos considerar uma curva de nível . Tomando constante, temos:
O que implica:
Isso descreve um círculo de raio . O vetor tangente a qualquer ponto dessa curva pode ser dado por .
Calculando o produto escalar entre e o vetor tangente:
Como o produto escalar é zero, o gradiente é perpendicular (normal) à curva de nível.

Resposta

O gradiente de é , e esse vetor é normal às curvas de nível de .

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