Calcule
e verifique em cada caso que este vetor é normal as curvas ou superfícies de nível.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o gradiente da função
e verificar que esse vetor gradiente é normal (ou perpendicular) às curvas de nível dessa função. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e propriedades geométricas das funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos verificar que esse vetor gradiente é normal às curvas de nível de
. As curvas de nível são as curvas onde a função
assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante.
Para mostrar que
é normal às curvas de nível, precisamos ver que o produto escalar do gradiente com qualquer vetor tangente à curva de nível é zero. Isso significa que os dois vetores são perpendiculares.
Vamos considerar uma curva de nível
. Tomando
constante, temos:
O que implica:
Isso descreve um círculo de raio
. O vetor tangente a qualquer ponto dessa curva pode ser dado por
.
Calculando o produto escalar entre
e o vetor tangente:
Como o produto escalar é zero, o gradiente é perpendicular (normal) à curva de nível.
Resposta
O gradiente de
é
, e esse vetor é normal às curvas de nível de
.