Determine a reta tangente à curva gamma, no ponto P0 indicado.
(b) gamma: | 3xy + 2yz + 6 = 0 ; x^2 - 2xz + y^2z = 1 ; P0(1, -2, 0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva gamma definida pela interseção de duas superfícies:
E queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente os gradientes das superfícies e o produto vetorial para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o ponto P0 está realmente na curva gamma. Isso significa que ele deve satisfazer ambas as equações das superfícies.
Substituindo na primeira equação:
Agora na segunda equação:
Como ambas as equações são satisfeitas, o ponto está na curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os gradientes das duas superfícies no ponto P0. O gradiente de uma função é o vetor formado pelas suas derivadas parciais:
Esses gradientes são normais ��s superfícies naqueles pontos.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente da primeira superfície :
Então, em :

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente da segunda superfície :
Em :

Passo 6

Para encontrar a direção da reta tangente à curva gamma em P0, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos dois gradientes calculados. Isso é feito pelo produto vetorial dos gradientes:
Então:

Passo 7

Vamos calcular o produto vetorial:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 8

Agora que temos o vetor direção e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde t é o parâmetro.

Resposta

A reta tangente à curva gamma no ponto é dada por:

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