Determine a reta tangente à curva , no ponto indicado.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva gamma definida pela interseção de duas superfícies:
E queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente os gradientes das superfícies e o produto vetorial para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o ponto P0 está realmente na curva gamma. Isso significa que ele deve satisfazer ambas as equações das superfícies.
Substituindo na primeira equação:
Agora na segunda equação:
Como ambas as equações são satisfeitas, o ponto está na curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os gradientes das duas superfícies no ponto P0. O gradiente de uma função é o vetor formado pelas suas derivadas parciais:
Esses gradientes são normais ��s superfícies naqueles pontos.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente da primeira superfície :
Então, em :
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente da segunda superfície :
Em :
Passo 6
Para encontrar a direção da reta tangente à curva gamma em P0, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos dois gradientes calculados. Isso é feito pelo produto vetorial dos gradientes:
Então:
Passo 7
Vamos calcular o produto vetorial:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 8
Agora que temos o vetor direção e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde t é o parâmetro.
Resposta
A reta tangente à curva gamma no ponto é dada por: