Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(b) x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6 ; P0(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície dada pela equação . Essa é a equação geral de uma superfície quadrática, que pode representar um elipsoide. Nosso objetivo é encontrar o plano que “toca” essa superfície exatamente no ponto , ou seja, o plano tangente, e também a reta que é perpendicular a esse plano nesse ponto, que chamamos de reta normal.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos primeiro calcular o vetor normal à superfície no ponto . Esse vetor é dado pelas derivadas parciais da função definida pela superfície em relação a , e .
A nossa superfície pode ser vista como .
Então, as derivadas parciais são:

Passo 4

Avaliaremos essas derivadas no ponto :
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde é um ponto genérico no plano e é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal tem a direção do vetor normal e passa pelo ponto .
A equação paramétrica da reta é:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o ponto por onde a reta passa.
Substituindo:

Resposta

Portanto, as soluções são:
  • Plano tangente:
  • Reta normal:

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