Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície dada pela equação . Essa é a equação geral de uma superfície quadrática, que pode representar um elipsoide. Nosso objetivo é encontrar o plano que “toca” essa superfície exatamente no ponto , ou seja, o plano tangente, e também a reta que é perpendicular a esse plano nesse ponto, que chamamos de reta normal.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos primeiro calcular o vetor normal à superfície no ponto . Esse vetor é dado pelas derivadas parciais da função definida pela superfície em relação a , e .
A nossa superfície pode ser vista como .
Então, as derivadas parciais são:
Passo 4
Avaliaremos essas derivadas no ponto :
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde é um ponto genérico no plano e é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal tem a direção do vetor normal e passa pelo ponto .
A equação paramétrica da reta é:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o ponto por onde a reta passa.