Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é a fração \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}.
  • O ponto de interesse é x=1.
    (Propriedade apontada: identificação do que é pedido e dos dados.)

Passo 2

Teste de substituição direta (avaliar a expressão em x=1):
\sqrt{1+3}-2= \sqrt{4}-2=2-2=0, \qquad \sqrt{1+8}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. (Propriedade usada: avaliação direta da função no ponto; conclusão sobre indeterminação.)

Passo 3

Planejamento: para eliminar a indeterminação 0/0 vamos usar conjugados para remover as raízes. A operação que faremos é multiplicar numerador e denominador pelo produto dos conjugados (\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{x+8}+3). Isso é válido porque multiplicar numerador e denominador por um mesmo fator diferente de zero é multiplicar por 1 e não altera a fração. (Propriedade usada: multiplicar por 1 — elemento neutro — e uso do conjugado.)

Passo 4

Multiplicando pelo produto dos conjugados e reescrevendo:
\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3} = \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{x+8}+3)} {(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{x+8}+3)}.
Agora use a identidade diferença de quadrados (a-b)(a+b)=a^2-b^2 nos fatores com a mesma raiz:
(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)=(x+3)-4=x-1,
(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)=(x+8)-9=x-1.
Substituindo na expressão:
\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3} = \frac{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}.
(Propriedade usada: diferença de quadrados para eliminar as raízes.)

Passo 5

Para x\neq 1 podemos simplificar cancelando o fator comum x-1:
\frac{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2}\quad\text{(para \(x\neq 1\)).}
Isso vale em todo intervalo com x próximo de 1 exceto exatamente em 1, o que é suficiente para o cálculo do limite. (Propriedade usada: cancelamento de fator comum em frações, válido quando o fator não é zero.)

Passo 6

Agora a função simplificada \dfrac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2} é contínua em x=1 (raízes e somas são funções contínuas onde estão definidas), então o limite é o valor obtido pela substituição direta:
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{\sqrt{1+8}+3}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{3+3}{2+2} = \frac{6}{4}.
(Propriedade usada: limite de função contínua = valor da função no ponto — propriedade de continuidade e álgebra dos limites.)

Passo 7

Simplificando a fração final:
\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Portanto o limite vale \dfrac{3}{2}. (Propriedade usada: simplificação de fração.)

Resposta

\dfrac{3}{2}

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