Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão é a fração
. - O ponto de interesse é
.
(Propriedade apontada: identificação do que é pedido e dos dados.)
Passo 2
Teste de substituição direta (avaliar a expressão em
):
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. (Propriedade usada: avaliação direta da função no ponto; conclusão sobre indeterminação.)
Passo 3
Planejamento: para eliminar a indeterminação
vamos usar conjugados para remover as raízes. A operação que faremos é multiplicar numerador e denominador pelo produto dos conjugados
. Isso é válido porque multiplicar numerador e denominador por um mesmo fator diferente de zero é multiplicar por
e não altera a fração. (Propriedade usada: multiplicar por
— elemento neutro — e uso do conjugado.)
Passo 4
Multiplicando pelo produto dos conjugados e reescrevendo:
Agora use a identidade diferença de quadrados
nos fatores com a mesma raiz:
Substituindo na expressão:
(Propriedade usada: diferença de quadrados para eliminar as raízes.)
Passo 5
Para
podemos simplificar cancelando o fator comum
:
Isso vale em todo intervalo com
próximo de
exceto exatamente em
, o que é suficiente para o cálculo do limite. (Propriedade usada: cancelamento de fator comum em frações, válido quando o fator não é zero.)
Passo 6
Agora a função simplificada
é contínua em
(raízes e somas são funções contínuas onde estão definidas), então o limite é o valor obtido pela substituição direta:
(Propriedade usada: limite de função contínua = valor da função no ponto — propriedade de continuidade e álgebra dos limites.)
Passo 7
Simplificando a fração final:
Portanto o limite vale
. (Propriedade usada: simplificação de fração.)