1. Admitindo que a velocidade de onda em uma corda tensa depende da intensidade da força de tração, F , e da densidade de massa linear, u, na forma v propto F^a / mu^b, usando análise dimensional, demonstre que a=0,5 eb=0,5.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a velocidade de uma onda numa corda tensa varia como
v propto F^amu^b
onde F é a força de tração e μ é a densidade linear de massa. A missão é, usando análise dimensional, descobrir os valores de a e b. O conteúdo aqui é “análise dimensional” em física: a gente vai olhar as unidades (dimensões) de cada grandeza e igualar tudo para achar a combinação certa de expoentes.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos escrever as dimensões (M massa, L comprimento, T tempo) de cada coisa:
  1. v (velocidade) tem dimensão [L T⁻¹].
  2. F (força) vem de massa × aceleração, então [F] = M L T⁻².
  3. μ (densidade linear) é massa por comprimento, ou seja [μ] = M L⁻¹.
Agora a hipótese é
[v] = [F]^a;[,mu,]^-b

Passo 3

Vamos substituir as dimensões na relação:
[F]^a = (M,L,T^-2)^a = M^,a,L^,a,T^-2a,
[,mu,]^-b = (M,L^-1)^-b = M^-b,L^,b
Multiplicando:
[F]^a,[mu]^-b = M^,a,L^,a,T^-2a;times;M^-b,L^,b = M^,a - b;L^,a + b;T^-2a

Passo 4

Agora igualamos isso a [v] = L¹ T⁻¹, ou seja:
  1. Potência de M: 0 (em v) = a – b
  2. Potência de L: 1 = a + b
  3. Potência de T: −1 = −2a
Das equações:
  • De −1 = −2a vem direto a = ½.
  • Como a – b = 0, então b = a = ½.
  • E a + b = ½ + ½ = 1 confere com L¹.

Resposta

a = 0,5 e b = 0,5.

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