Quatro ondas senoidais se propagam no sentido de
positivo ao longo da mesma corda. Suas frequências estão a proporção de 1:2:3:4 e suas amplitudes estão a proporção de
, respectivamente. Quando
. em
a primeira e a terceira onda estão
fora de fase com a segunda e a quarta. Desenhe a forma de onda resultante em
e discuta o seu comportamento à medida que
cresce.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos quatro ondas senoidais viajando para +x numa corda.
– Frequências em proporção 1:2:3:4 → chamar de ω, 2ω, 3ω, 4ω.
– Amplitudes em proporção 1:½:⅓:¼ → chamar de A, A/2, A/3, A/4.
– Em t=0, x=0 as ondas 1 e 3 estão 180° (π rad) fora de fase em relação às ondas 2 e 4.
O conteúdo é superposição de ondas senoidais. Vamos precisar da equação geral
– Frequências em proporção 1:2:3:4 → chamar de ω, 2ω, 3ω, 4ω.
– Amplitudes em proporção 1:½:⅓:¼ → chamar de A, A/2, A/3, A/4.
– Em t=0, x=0 as ondas 1 e 3 estão 180° (π rad) fora de fase em relação às ondas 2 e 4.
O conteúdo é superposição de ondas senoidais. Vamos precisar da equação geral
e da propriedade
Passo 2
Escrevendo cada onda:
-
-
-
-
Aqui fizemos φ₁=φ₃=π (180° de atraso) e φ₂=φ₄=0.
Passo 3
Em t=0 a soma é
Usando
, fica
Passo 4
Esboço qualitativo (eixo vertical é y, horizontal é x; λ=2π/k):
y
↑
A/2| /\ /\ /\
| / \ / \ / \
0|-----/------/------/------→ x
| / / / \
–A/2|_/ _
| / \ / \ / \
0|-----/------/------/------→ x
| / / / \
–A/2|_/ _
Explicação:
- A função começa em 0 em x=0.
- Há oscilações mais rápidas (2kx,3kx,4kx) de amplitude decrescente.
- O perfil resultante é uma superposição de harmônicas que se repete a cada λ.
Passo 5
Agora, para t>0: cada seno desloca‐se sem mudar de forma com velocidade
. Como todas têm a mesma v, a soma também se desloca rigidamente para a direita. Além disso, como as frequências são múltiplos inteiros de ω, após
todas voltam à fase inicial, ou seja, o formato reaparece igual.
Resposta
Em t=0 a forma de onda resultante é
e, para t>0, todo esse perfil simplesmente se desloca para a direita com velocidade
, sem distorcer, repetindo‐se a cada período
.