Quatro ondas senoidais se propagam no sentido de x positivo ao longo da mesma corda. Suas frequências estão a proporção de 1:2:3:4 e suas amplitudes estão a proporção de 1: 1 / 2: 1 / 3: 1 / 4, respectivamente. Quando t=0. em x=0 a primeira e a terceira onda estão 180^circ fora de fase com a segunda e a quarta. Desenhe a forma de onda resultante em t=0 e discuta o seu comportamento à medida que t cresce.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos quatro ondas senoidais viajando para +x numa corda.
– Frequências em proporção 1:2:3:4 → chamar de ω, 2ω, 3ω, 4ω.
– Amplitudes em proporção 1:½:⅓:¼ → chamar de A, A/2, A/3, A/4.
– Em t=0, x=0 as ondas 1 e 3 estão 180° (π rad) fora de fase em relação às ondas 2 e 4.
O conteúdo é superposição de ondas senoidais. Vamos precisar da equação geral
y(x,t)=Asin(kx-omega t+phi)
e da propriedade
sin(theta+pi)=-sintheta,

Passo 2

Escrevendo cada onda:

  1. Aqui fizemos φ₁=φ₃=π (180° de atraso) e φ₂=φ₄=0.

Passo 3

Em t=0 a soma é
y(x,0)=Asin(kx+pi) +A2sin(2kx) +A3sin(3kx+pi) +A4sin(4kx)
Usando boxedy(x,0)=-Asin(kx);+;A2sin(2kx);-;A3sin(3kx);+;A4sin(4kx), , fica

Passo 4

Esboço qualitativo (eixo vertical é y, horizontal é x; λ=2π/k):
  y  
  ↑  
A/2| /\ /\ /\
| / \ / \ / \
0|-----/------/------/------→ x
| / / / \
–A/2|_/ _
Explicação:
  • A função começa em 0 em x=0.
  • Há oscilações mais rápidas (2kx,3kx,4kx) de amplitude decrescente.
  • O perfil resultante é uma superposição de harmônicas que se repete a cada λ.

Passo 5

Agora, para t>0: cada seno desloca‐se sem mudar de forma com velocidade . Como todas têm a mesma v, a soma também se desloca rigidamente para a direita. Além disso, como as frequências são múltiplos inteiros de ω, após todas voltam à fase inicial, ou seja, o formato reaparece igual.

Resposta

Em t=0 a forma de onda resultante é
y(x,0)=-Asin(kx)+A2sin(2kx)-A3sin(3kx)+A4sin(4kx),
e, para t>0, todo esse perfil simplesmente se desloca para a direita com velocidade , sem distorcer, repetindo‐se a cada período .

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