Em um sistema esférico simétrico, a equação tridimensional da onda é dada por
1r^2 de<ade<a r(r^2 de<a yde<a r)=1v^2 de<a^2 yde<a t^2
Demonstre que
y(r, t)=Ar cdot sen^*(k r-omega t)
é solução para essa equação de onda.

Passo 1

O enunciado dá a equação de onda esférica radial
1r^2partialpartial r!l(r^2partial ypartial rr) =1v^2partial^2ypartial t^2
e pede para mostrar que
y(r,t)=Ar,sinl(k,r-omega,tr)
é solução. Vamos então calcular separadamente o lado esquerdo (derivadas em r) e o lado direito (derivadas em t) e verificar que eles coincidem quando omega = v,k.

Passo 2

Calcule partial y/partial r. Como
y(r,t)=A,r^-1sinphi, phi=k,r-omega,t,
usa-se a regra do produto e cadeia:
partial ypartial r = Al(-r^-2sinphi + r^-1cosphicdot kr) =-Ar^2sinphi + A,krcosphi

Passo 3

Forme r^2,partial y/partial r:
r^2partial ypartial r =-Asinphi + A,k,rcosphi

Passo 4

Agora derive em r novamente:
partialpartial r!l(r^2partial ypartial rr) =partialpartial rl(-Asinphi + A,k,rcosphir)
Para cada termo:
  • partial(-Asinphi)/partial r = -Acosphicdot k.
  • partial(A,k,rcosphi)/partial r = A,kcosphi + A,k,r(-sinphi)cdot k.
    Somando,
partialpartial rl(r^2yrr) =-A,kcosphi + A,kcosphi - A,k^2rsinphi =-A,k^2rsinphi

Passo 5

Logo o lado esquerdo da equação de onda é
1r^2partialpartial rl(r^2yrr) =-A,k^2rsinphi =-k^2,y(r,t)

Passo 6

Calcule agora o lado direito, partial^2y/partial t^2. Como phi=k,r-omega,t, temos
partial ypartial t = Arcosphicdot(-omega) =-A,omegarcosphi,
e
partial^2ypartial t^2 =-A,omegarl(-sinphir)cdotomega =-A,omega^2rsinphi =-omega^2,y(r,t)
Portanto
1v^2partial^2ypartial t^2 =-omega^2v^2,y(r,t)

Passo 7

Para que
-k^2,y ;=;- omega^2v^2,y
valha para todo (r,t), basta que
k^2=omega^2v^2 Longrightarrow omega = v,k
Como essa relação de dispersão é justamente a do enunciado, concluímos que
y(r,t)=Arsin(k,r-omega,t)
é solução da equação de onda esférica quando omega = v,k.

Resposta

Mostramos que ao substituir
y=Arsin(k,r-omega,t)
na equação
1r^2partialpartial r(r^2yr) = 1v^2ytt,
o resultado é consistente se e somente se
omega = v,k. Portanto a função dada é solução.

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