Em um sistema esférico simétrico, a equação tridimensional da onda é dada por
Demonstre que
é solução para essa equação de onda.
Passo 1
O enunciado dá a equação de onda esférica radial
e pede para mostrar que
é solução. Vamos então calcular separadamente o lado esquerdo (derivadas em
) e o lado direito (derivadas em
) e verificar que eles coincidem quando
.
Passo 2
Calcule
. Como
usa-se a regra do produto e cadeia:
Passo 3
Forme
:
Passo 4
Agora derive em
novamente:
Para cada termo:
-
. -
.
Somando,
Passo 5
Logo o lado esquerdo da equação de onda é
Passo 6
Calcule agora o lado direito,
. Como
, temos
e
Portanto
Passo 7
Para que
valha para todo
, basta que
Como essa relação de dispersão é justamente a do enunciado, concluímos que
é solução da equação de onda esférica quando
.
Resposta
Mostramos que ao substituir
na equação
,
o resultado é consistente se e somente se
. Portanto a função dada é solução.
na equação
o resultado é consistente se e somente se