Admitindo os vetores A=3 i+7 j-k e B=i-j. Determine (a) A cdot B. (b) A times B. (c) (A times B) cdot A. (d) (A times B) cdot B

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3,
A=3,i+7,j-k e B=i-j+0,k.
O conteúdo aqui envolve produto escalar, produto vetorial e produto misto. Para resolver, vamos usar:
– Produto escalar AcdotB=sum AiBi.
– Produto vetorial via determinante de matriz 3times3.
– Produto misto (AtimesB)cdotC como escalar resultante.

Passo 2

Calcular o produto escalar
AcdotB =3cdot1 ;+;7cdot(-1);+;(-1)cdot0 =3 -7 +0 =-4

Passo 3

Calcular o produto vetorial
AtimesB = i & j & k 3 & 7 & -1 1 & -1 & 0 =i(7cdot0 - (-1)cdot(-1)) -j(3cdot0 - (-1)cdot1) +k(3cdot(-1) -7cdot1)
Isso dá
AtimesB =i(0-1)-j(0+1)+k(-3-7) =-i-j-10,k

Passo 4

Agora o produto misto com A:
(AtimesB)cdotA =(-1, -1, -10)cdot(3,7,-1) =-1cdot3 +(-1)cdot7 +(-10)cdot(-1) =-3 -7 +10 =0

Passo 5

Por fim o produto misto com B:
(AtimesB)cdotB =(-1, -1, -10)cdot(1,-1,0) =-1cdot1 +(-1)cdot(-1) +(-10)cdot0 =-1 +1 +0 =0

Resposta

(a) -4
(b) -i-j-10,k
(c) 0
(d) 0

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