Adote como fundamentais as grandezas: massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Escreva aequação dimensional da:
Questão 03 - A velocidade boldsymbolv de propagação de um certo fenômeno ondulatório é dada por v=d^a p^b, em que boldsymbold e uma densidade e boldsymbolp uma pressão. Determine os expoentes boldsymbola e boldsymbolb.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede: temos uma expressão da velocidade de propagação
v = d^a;p^b,
onde
- v é velocidade,
- d é densidade,
- p é pressão.
A matéria aqui é análise dimensional. Pra resolver, precisamos:
1. Saber a dimensão de cada grandeza em termos de M (massa), L (comprimento) e T (tempo).
2. Escrever a dimensão de v igual à dimensão de d^a p^b.
3. Igualar expoentes de M, L e T e resolver para a e b.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as dimensões básicas:
  • Velocidade v: deslocamento por tempo → dimensão [v] = L,T^-1
  • Densidade d: massa por volume → dimensão [d] = ML^3 = M,L^-3
    - Pressão p: força por área. Força ( F) tem dimensão M,L,T^-2, daí
    [p] = FL^2 = M,L,T^-2L^2 = M,L^-1,T^-2

Passo 3

Agora escrevemos a equação dimensional de
v = d^a,p^b
em termos de expoentes de M,L,T:
$$[v] = [d]a,[p]b \quad\Longrightarrow\quad
L,T^{-1} = \bigl(M,L{-3}\bigr){a};\bigl(M,L{-1},T{-2}\bigr)^{b}.$$

Passo 4

Vamos juntar e somar expoentes de cada base:
  • Para M: expoente é a + b.
  • Para L: expoente é (-3a) + (-1b) = -3a - b.
  • Para T: expoente é 0cdot a + (-2b) = -2b.
    Então a igualdade dimensional gera o sistema:
a + b = 0, & (expoente de $M$) -3a - b = 1, & (expoente de $L$, pois $L^1$) -2b = -1 & (expoente de $T$, pois $T^-1$)

Passo 5

Bora resolver: da terceira equação,
-2b = -1 Longrightarrow b = tfrac12
Da primeira,
a + b = 0 Longrightarrow a = -b = -tfrac12
(Se você quiser conferir, a segunda equação dá -3(-tfrac12) - tfrac12 = tfrac32 - tfrac12 = 1, tudo certo.)

Resposta

a = -tfrac12,
b = tfrac12.

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