Adsorção de n-butanol presente no ar ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) foi estudada em uma pequena coluna de leito fixo com 10,16 \mathrm{~cm} de diâmetro e quantidade de carvão ativado de 300 g , que correspondem a 8 cm de altura de leito. Os dados a seguir foram obtidos de ensaios de adsorção realizados nas condições apresentadas anteriormente.
\mathbf{3 0 0 ~} \mathbf{g}
\mathbf{t}[\mathbf{h}] 1 1,5 2 2,4 2,8 3,3 4 5
\mathbf{c} / \mathbf{c}_{0} 0,005 0,01 0,027 0,05 0,1 0,2 0,29 0,56
Dados:
u_{0}=58 \mathrm{~cm} / \mathrm{s};
c_{0}=365 p p m;
\rho_{b}=0,461 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
\dot{V}=0,3402 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} de alimentação
Determine a fração de leito usado em um ponto de ruptura de 0,05 e a capacidade de saturação do carvão ativado.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei os tempos e os valores de c/c_0 da tabela enviada).
  • Pedidos:
    • Determinar a fração de leito usado em um ponto de ruptura de 0{,}05 (isto é, quando c/c_0=0{,}05).
    • Determinar a capacidade de saturação do carvão ativado (capacidade de adsorção até exaustão).
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro da coluna: d=10{,}16\\ \mathrm{cm}.
    • Massa de carvão: m=300\\ \mathrm{g}=0{,}300\\ \mathrm{kg}.
    • Altura do leito: H=8\\ \mathrm{cm} (consistente com os dados anteriores).
    • Velocidade superficial: u_0=58\\ \mathrm{cm/s}.
    • Concentração de alimentação: c_0=365\\ \mathrm{ppm}.
    • Densidade aparente do leito: \rho_b=0{,}461\\ \mathrm{g/cm^3}.
    • Valor fornecido \dot{V}=0{,}3402\\ \mathrm{m^3/kg} (o enunciado deu isso: vou comentar sobre seu uso mais adiante).
    • Tabela (peguei os pontos dela):
      • t [h]: 1,\\\ 1{,}5,\\\ 2,\\\ 2{,}4,\\\ 2{,}8,\\\ 3{,}3,\\\ 4,\\\ 5.
      • c/c_0: 0{,}005,\\\ 0{,}01,\\\ 0{,}027,\\\ 0{,}05,\\\ 0{,}1,\\\ 0{,}2,\\\ 0{,}29,\\\ 0{,}56.
Observação importante sobre interpretação dos pedidos e dos dados: a “fração de leito usado” costuma ser dada por \dfrac{t_b}{t_s} (tempo de ruptura dividido pelo tempo de exaustão) — isto é a fração do comprimento do leito efetivamente utilizada quando ocorre o ponto de ruptura. Outra medida possível é a fração da capacidade (massa adsorvida até ruptura / massa adsorvida total até saturação). Aqui vou calcular a fração de leito usado como \dfrac{t_b}{t_s} (explico por quê no passo apropriado) e também apresento a fração de capacidade usada (pois é informativa). Como o experimento não fornece explicitamente o tempo de exaustão t_s, vou estimá‑lo por extrapolação linear dos dados finais (explico e justifico a escolha).

Passo 2

Converter unidades e calcular a concentração absoluta de n-butanol no ar em \mathrm{g/m^3}.
Explicação rápida (fórmula): a concentração em massa do vapor a partir de ppm (volume) em condições de gás ideal é
c_0 = \left(\dfrac{P}{R T}\right)\, \left(\text{fração (em volume)}\right)\, M,çã
onde P é a pressão absoluta (uso 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}), R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T é a temperatura absoluta ( 20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K}), e M é a massa molar do butanol ( M=74{,}12\\ \mathrm{g/mol}). A densidade molar do gás é P/(RT) em \mathrm{mol/m^3}.
Cálculo:
\dfrac{P}{RT}=\dfrac{101325}{8{,}314\cdot293}\approx 41{,}60\\ \mathrm{mol/m^3}.
A fração em volume é 365\times10^{-6}. Logo
c_0 = 41{,}60\cdot 365\times10^{-6}\cdot 74{,}12\\ \mathrm{g/m^3}\approx 1{,}126\\ \mathrm{g/m^3}.
Portanto \;c_0\approx 1{,}126\\ \mathrm{g/m^3}.

Passo 3

Calcular a vazão volumétrica Q a partir de u_0 e da área da coluna.
Explicação: a vazão volumétrica é Q = u_0 \, A, onde A é a área da seção transversal da coluna. O diâmetro deve estar em metros e u_0 em \mathrm{m/s}.
Cálculos:
d=10{,}16\\ \mathrm{cm}=0{,}1016\\ \mathrm{m},\qquad A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi (0{,}1016)^2}{4}\approx 0{,}008103\\ \mathrm{m^2}.
u_0=58\\ \mathrm{cm/s}=0{,}58\\ \mathrm{m/s}, \qquad Q=u_0 A=0{,}58\cdot 0{,}008103\approx 0{,}0046997\\ \mathrm{m^3/s}.
Para conveniência, passo para \mathrm{m^3/h}:
Q=0{,}0046997\cdot 3600 \approx 16{,}919\\ \mathrm{m^3/h}.
Comentário sobre \dot{V} do enunciado: o enunciado dá \dot{V}=0{,}3402\\ \mathrm{m^3/kg} sem indicar claramente a que se refere (por ex.: vazão por massa, volume total tratado por massa até saturação, etc.). Como temos u_0, d e m, podemos calcular Q e trabalhar com balanço de massa sem usar diretamente \dot{V}. Vou proceder com Q acima, e não usar \dot{V} porque sua interpretação não é clara; ao final comento a diferença caso se entenda \dot{V} de outra forma.

Passo 4

Formulação do balanço de massa para determinar a massa adsorvida até um tempo t.
Explicação didática: a massa total de adsorvato retida no leito até o tempo t é a diferença entre a massa que entrou e a massa que saiu pelo escoamento até t. A massa que entra é c_0\,Q\,t (concentração de alimentação vezes vazão vezes tempo). A massa que sai é \int_0^t c(t)\,Q\,dt. Então a massa adsorvida é
M_{\mathrm{ads}}(t)=Q\int_0^t \bigl(c_0-c(t)\bigr)\,dt =c_0\,Q\int_0^t \bigl(1-\tfrac{c(t)}{c_0}\bigr)\,dt.
Nota: usar c(t)/c_0 (os dados da tabela) é conveniente. Depois, a capacidade por massa de carvão é
q(t)=\dfrac{M_{\mathrm{ads}}(t)}{m}\quad\text{(g adsorbido por kg de carvão, ou g/g se dividir por kg)}.ã
Vou aplicar a regra do trapézio para aproximar a integral numérica com os pontos experimentais (assumindo c(0)=0 no início).

Passo 5

Calcular a massa adsorvida até o tempo de ruptura t_b (quando c/c_0=0{,}05) — peguei da tabela que isso ocorre em t_b=2{,}4\\ \mathrm{h}.
Primeiro formo os pontos usados para a integração de 0 a 2{,}4\\ \mathrm{h}:
  • t=0{,}0\\ \mathrm{h}: c/c_0=0 (assumo início sem saída).
  • t=1{,}0: 0{,}005.
  • t=1{,}5: 0{,}01.
  • t=2{,}0: 0{,}027.
  • t=2{,}4: 0{,}05.
Aplicando trapézio à função f(t)=1-c(t)/c_0:
Segmento 0\to1: \Delta t=1{,}0, média de c/c_0=(0+0{,}005)/2=0{,}0025 f média =1-0{,}0025=0{,}9975 ⇒ área =0{,}9975\cdot1{,}0=0{,}9975.
Segmento 1\to1{,}5: \Delta t=0{,}5, média c/c_0=(0{,}005+0{,}01)/2=0{,}0075 f média =0{,}9925 ⇒ área =0{,}9925\cdot0{,}5=0{,}49625.
Segmento 1{,}5\to2: \Delta t=0{,}5, média c/c_0=(0{,}01+0{,}027)/2=0{,}0185 f média =0{,}9815 ⇒ área =0{,}9815\cdot0{,}5=0{,}49075.
Segmento 2\to2{,}4: \Delta t=0{,}4, média c/c_0=(0{,}027+0{,}05)/2=0{,}0385 f média =0{,}9615 ⇒ área =0{,}9615\cdot0{,}4=0{,}3846.
Somando as áreas (isto é \int_0^{2{,}4}(1-c/c_0)dt):
S_{b}=0{,}9975+0{,}49625+0{,}49075+0{,}3846\approx 2{,}3691\\ \mathrm{h}.
Agora a massa adsorvida até t_b é
M_{\mathrm{ads}}(t_b)=c_0\,Q\,S_b.
Substituindo c_0\approx 1{,}126\\ \mathrm{g/m^3} e Q\approx 16{,}919\\ \mathrm{m^3/h}:
M_{\mathrm{ads}}(t_b)\approx 1{,}126\cdot 16{,}919\cdot 2{,}3691 \approx 45{,}06\\ \mathrm{g}.
Capacidade por massa de carvão até a ruptura:
q_b=\dfrac{M_{\mathrm{ads}}(t_b)}{m}=\dfrac{45{,}06\\ \mathrm{g}}{0{,}300\\ \mathrm{kg}}\approx 150{,}2\\ \mathrm{g/kg}.
(Equivalentemente 0{,}1502\\ \mathrm{g/g}=150{,}2\\ \mathrm{mg/g}.)

Passo 6

Determinar o tempo de exaustão t_s para poder calcular a fração do leito usado \dfrac{t_b}{t_s}. Como o experimento não fornece o instante em que c/c_0=1, é preciso estimar t_s por extrapolação. Explico o critério de escolha:
  • Os dados finais mostram aceleração no aumento de c/c_0: 3{,}3\\ \mathrm{h}\to0{,}2, 4\\ \mathrm{h}\to0{,}29, 5\\ \mathrm{h}\to0{,}56. A tendência recente é mais bem representada pela reta entre t=4 e t=5. Portanto adoto uma extrapolação linear do último trecho ( 4 5 h) até c/c_0=1. Isso é um procedimento razoável e simples quando não há curva mais detalhada; a principal limitação é que se a curva seguir outra forma (exponencial, por exemplo) o t_s estimado muda — informarei isso ao final.
Cálculo da extrapolação linear pelo trecho 4\to5:
\text{slope}=\dfrac{0{,}56-0{,}29}{5-4}=0{,}27\\ \text{(por hora)}.
A partir de t=5 com c/c_0=0{,}56, o tempo adicional para chegar a 1 é
\Delta t=\dfrac{1-0{,}56}{0{,}27}\approx 1{,}6296\\ \mathrm{h}.
Assim
t_s\approx 5 + 1{,}6296 \approx 6{,}6296\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Calcular a massa adsorvida até t_s (saturação estimada) usando a mesma técnica (trapézio em cada segmento, e extrapolação linear para o trecho 5\to t_s).
Já tínhamos S_b=\int_0^{2{,}4}(1-c/c_0)dt\approx 2{,}3691\\ \mathrm{h}.
Agora calculo as áreas dos segmentos seguintes (peguei os pares da tabela):
  • 2{,}4\to3{,}3: \Delta t=0{,}9, média c/c_0=(0{,}05+0{,}2)/2=0{,}125 f média =0{,}875 ⇒ área =0{,}875\cdot0{,}9=0{,}7875.
  • 3{,}3\to4: \Delta t=0{,}7, média c/c_0=(0{,}2+0{,}29)/2=0{,}245 f média =0{,}755 ⇒ área =0{,}755\cdot0{,}7=0{,}5285.
  • 4\to5: \Delta t=1{,}0, média c/c_0=(0{,}29+0{,}56)/2=0{,}425 f média =0{,}575 ⇒ área =0{,}575\cdot1{,}0=0{,}575.
  • 5\to t_s: \Delta t=1{,}6296, c/c_0 vai linear de 0{,}56 a 1, média =(0{,}56+1)/2=0{,}78 f média =1-0{,}78=0{,}22 ⇒ área =0{,}22\cdot1{,}6296\approx 0{,}3585.
Somando tudo:
S_{\mathrm{total}}=S_b + 0{,}7875 + 0{,}5285 + 0{,}575 + 0{,}3585 \approx 4{,}6186\\ \mathrm{h}.
Massa adsorvida até saturação estimada:
M_{\mathrm{ads}}(t_s)=c_0\,Q\,S_{\mathrm{total}} \approx 1{,}126\cdot 16{,}919\cdot 4{,}6186 \approx 88{,}02\\ \mathrm{g}.
Capacidade por massa de carvão na saturação estimada:
q_s=\dfrac{M_{\mathrm{ads}}(t_s)}{m}=\dfrac{88{,}02\\ \mathrm{g}}{0{,}300\\ \mathrm{kg}}\approx 293{,}4\\ \mathrm{g/kg}.
(Isto é 0{,}2934\\ \mathrm{g/g}=293{,}4\\ \mathrm{mg/g}.)

Passo 8

Calcular a fração de leito usado e a fração da capacidade usada até o ponto de ruptura, e comentar incertezas.
  • Fração de leito usado (definição escolhida: razão dos tempos)
\text{fração de leito usado} = \dfrac{t_b}{t_s} = \dfrac{2{,}4}{6{,}6296}\approx 0{,}362\\ (\text{ou }36{,}2\%).çã
  • Fração da capacidade usada (massa adsorvida até ruptura dividida pela massa adsorvida até saturação)
\text{fração da capacidade}=\dfrac{M_{\mathrm{ads}}(t_b)}{M_{\mathrm{ads}}(t_s)}=\dfrac{45{,}06}{88{,}02}\approx 0{,}512\\ (\text{ou }51{,}2\%).çã
Comentário sobre incertezas e hipóteses:
  • A estimativa de t_s (e, portanto, de q_s e da fração de leito) depende da extrapolação linear do trecho 4\text{–}5\\ \mathrm{h}. Se a curva de saída seguir outra forma a saturação pode ocorrer mais cedo ou mais tarde; isto mudaria os números.
  • Não usei \dot{V}=0{,}3402\\ \mathrm{m^3/kg} porque o enunciado não especifica claramente se é vazão específica, volume total até saturação por kg, ou outra grandeza; se essa \dot{V} corresponde ao volume total de alimentação por kg até saturação, então a capacidade de saturação pode ser calculada diretamente por q_s=c_0\dot{V} — mas esse cálculo daria um valor muito pequeno (por isso suspeitei de interpretação ambígua). Usei em vez disso u_0 e o diâmetro (dados claros) para obter Q e aplicar balanço com os dados experimentais.

Passo 9

Resumo numérico das quantidades importantes (valores calculados durante a resolução, para referência rápida):
  • Tempo de ruptura (peguei da tabela): t_b=2{,}4\\ \mathrm{h}.
  • Tempo de saturação estimado (extrapolação linear 4–5 h): t_s\approx 6{,}6296\\ \mathrm{h}.
  • Massa adsorvida até ruptura: M_{\mathrm{ads}}(t_b)\approx 45{,}06\\ \mathrm{g}.
  • Capacidade até ruptura por massa de carvão: q_b\approx 150{,}2\\ \mathrm{g/kg} (ou 150{,}2\\ \mathrm{mg/g}).
  • Massa adsorvida até saturação estimada: M_{\mathrm{ads}}(t_s)\approx 88{,}02\\ \mathrm{g}.
  • Capacidade de saturação estimada do carvão: q_s\approx 293{,}4\\ \mathrm{g/kg} (ou 293{,}4\\ \mathrm{mg/g}).
  • Fração de leito usado (pela razão dos tempos): \dfrac{t_b}{t_s}\approx 0{,}362 (36,2%).
  • Fração da capacidade usada (massa até ruptura / massa até saturação): \approx 0{,}512 (51,2%).

Resposta

Fração de leito usado ( t_b/t_s ): 0{,}362 (36,2%).
Capacidade de saturação do carvão ativado (estimada): q_s\approx 293{,}4\\ \mathrm{g/kg} (ou 0{,}2934\\ \mathrm{g/g}=293{,}4\\ \mathrm{mg/g}).

Exercícios relacionados