Um efluente contendo vapor de álcool em ar é tratada em um processo de adsorção por carvão ativado com um leito de 4 cm de diâmetro e altura de 14 cm , contendo 79,2 \mathrm{~g} de carvão. O gás entra com uma concentração inicial de 600 ppm e uma densidade de
0,00115 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} com uma vazão de 754 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}. Os dados da tabela mostram as concentrações na curva de ruptura. A concentração no ponto de ruptura é definida como \mathrm{c}_{\mathrm{b}} / \mathrm{c}_{0}=0,01. Pede-se:
\mathbf{t}[\mathbf{h}] 0 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,2 6,5 6,8
\mathbf{c}[\mathbf{p p m}] 0 0 1,2 18 93 238 395 541 560 585 596
(a) Determine o tempo de ruptura, a fração de leito usado e não usado. R.: 3,64 h; 70 \% ; 30 \%
(b) Se o ponto de ruptura para uma nova coluna é de 6h, qual é o comprimento total dessa coluna? R.: 20,34 \mathrm{~cm}
(c) Qual a fração de leito usado e não usado para a coluna nova? R.: 79,35%; 20,65 %
(d) Determine a capacidade de saturação do carvão ativado. R.: 0,123 \mathrm{~g} álcool / \mathrm{g} carvão
(e) Se a curva de ruptura apresentasse um S-shape menos inclinado, qual seria a consequência para as frações de leito usado e não usado?
(f) Para a nova coluna \left(t_{\mathrm{b}}=6 \mathrm{~h}\right), qual modificação teríamos que fazer ao aumentar a vazão de 754 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} para 1000 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s} ? R.: \uparrow \mathrm{D}=4,61 \mathrm{~cm}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Geometria e massa do leito original:
    • diâmetro do leito: D=4{,}00\\ \mathrm{cm}.
    • altura (comprimento) do leito: L=14{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • massa de carvão: m_{\mathrm{carv}}=79{,}2\\ \mathrm{g}.
  • Condições do gás:
    • concentração de entrada: c_{0}=600\\ \mathrm{ppm}.
    • densidade do gás: \rho_{g}=0{,}00115\\ \mathrm{g/cm}^{3}.
    • vazão volumétrica: Q=754\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.
  • Dados experimentais da curva de ruptura (tempo t em horas e concentração c em ppm):
    • t (h): 0,\\\ 3,\\\ 3{,}5,\\\ 4,\\\ 4{,}5,\\\ 5,\\\ 5{,}5,\\\ 6,\\\ 6{,}2,\\\ 6{,}5,\\\ 6{,}8.
    • c (ppm): 0,\\\ 0,\\\ 1{,}2,\\\ 18,\\\ 93,\\\ 238,\\\ 395,\\\ 541,\\\ 560,\\\ 585,\\\ 596.
  • A definição do ponto de ruptura é \dfrac{c_b}{c_0}=0{,}01, ou seja c_b=0{,}01\cdot600=6\\ \mathrm{ppm}.
  • O enunciado pede:
    (a) tempo de ruptura t_b e fração do leito usado e não usado (para a coluna original);
    (b) para uma nova coluna com t_b=6\\ \mathrm{h}, determinar o comprimento total dessa coluna;
    (c) fração do leito usado e não usado para a coluna nova;
    (d) capacidade de saturação do carvão em \mathrm{g\\ álcool/g\\ carvão}áã;
    (e) efeito de uma curva de ruptura em S menos inclinada nas frações de leito usado/não usado;
    (f) para a nova coluna ( t_b=6\\ \mathrm{h}), se aumentamos a vazão de 754 para 1000\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}, que modificação devemos fazer (resposta esperada: aumento do diâmetro para 4{,}61\\ \mathrm{cm}).

Passo 2

Estratégia e fórmulas essenciais (aulas rápidas antes de calcular).
  1. Como obter o tempo de ruptura t_b:
  • A ruptura ocorre quando c(t)=6\\ \mathrm{ppm}. Para achar o tempo entre pontos tabelados usa-se interpolação linear entre os pontos próximos.
  1. Como calcular a massa adsorvida até um tempo t:
  • Massa mássica de gás que entra por unidade de tempo: \dot{m}_g = Q\cdot \rho_{g} (unidade \mathrm{g/s}).
  • Fração mássica de álcool no gás aproximada por \dfrac{c(t)}{10^{6}} (ppm → fração).
  • Massa de álcool que entra entre 0 e t: M_{\text{in}}(t)=\dot{m}_g\cdot \dfrac{c_{0}}{10^{6}}\cdot t (quando t em segundos).
  • Massa de álcool que sai entre 0 e t: M_{\text{out}}(t)=\dot{m}_g\cdot \dfrac{1}{10^{6}}\int_{0}^{t} c(\tau)\,d\tau.
  • Logo massa adsorvida até t:
M_{\mathrm{ads}}(t)=\dot{m}_g\cdot \dfrac{1}{10^{6}}\left(c_{0}t-\int_{0}^{t} c(\tau)\,d\tau\right).
  • É conveniente trabalhar em horas para a integração e então converter \dot{m}_g para \mathrm{g/h}: \dot{m}_g^{(h)}=Q\cdot3600\cdot\rho_{g}.
  1. Capacidade por grama de carvão (saturação):
q_{\mathrm{sat}}=\frac{M_{\mathrm{ads}}(t_{\mathrm{sat}})}{m_{\mathrm{carv}}}.
Aqui t_{\mathrm{sat}} é o tempo de saturação (quando c\approx c_{0}). Tomaremos t_{\mathrm{sat}} como 6{,}8\\ \mathrm{h} (último ponto, c=596 ppm ≈ c_0).
4) Para calcular fração de leito usado:
  • Método prático usado aqui: a fração do leito usado até a ruptura é a razão entre a massa adsorvida até t_b e a massa adsorvível total até a saturação (ou equivalentemente a razão das áreas do gráfico (1-c/c_0) vs t):
\text{fração usada}=\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{t_b}\bigl(1-\frac{c}{c_0}\bigr)dt}{\displaystyle\int_{0}^{t_{\mathrm{sat}}}\bigl(1-\frac{c}{c_0}\bigr)dt}.çã
  • Na prática calculamos as integrais por regra do trapézio aplicando os pontos tabelados.
  1. Relação comprimento–massa do leito:
  • Massa por comprimento: m'=\dfrac{m_{\mathrm{carv}}}{L} (g por cm) se o diâmetro se mantiver igual e a densidade de empacotamento não muda.
  • Comprimento do leito usado: L_{\mathrm{usado}}=\dfrac{m_{\mathrm{usado}}}{m'}.
  1. Para projetar uma nova coluna:
  • Assumimos que a zona de transferência de massa não usada (comp. não usado) tem um comprimento físico aproximadamente constante para dadas condições de fluxo e adsorvente — essa hipótese é comumente adotada em dimensionamento prático para escalonamento linear (vamos usá-la porque é a hipótese que leva às respostas dadas).
  • Logo, ao aumentar o tempo de ruptura proporcionalmente, o comprimento usado cresce proporcionalmente, e o comprimento não usado (MTZ) permanece aproximadamente o mesmo em cm.

Passo 3

Cálculo detalhado do tempo de ruptura t_b por interpolação entre os pontos próximos.
  • Os pontos mais próximos ao valor c_b=6\\ \mathrm{ppm} são:
    • t_{1}=3{,}5\\ \mathrm{h} com c_{1}=1{,}2\\ \mathrm{ppm}.
    • t_{2}=4{,}0\\ \mathrm{h} com c_{2}=18\\ \mathrm{ppm}.
  • Interpolação linear: \displaystyle t_b=t_{1}+\frac{c_b-c_{1}}{c_{2}-c_{1}}(t_{2}-t_{1}).
  • Substituindo:
t_b=3{,}5+\frac{6-1{,}2}{18-1{,}2}\cdot(0{,}5)=3{,}5+\frac{4{,}8}{16{,}8}\cdot0{,}5.
\frac{4{,}8}{16{,}8}=0{,}285714\ldots,\quad 0{,}285714\cdot0{,}5=0{,}142857.
\therefore\\ t_b=3{,}5+0{,}142857=3{,}642857\\ \mathrm{h}\approx3{,}64\\ \mathrm{h}.

Passo 4

Cálculo das integrais necessárias (regra do trapézio) para achar as áreas \displaystyle\int(1-c/c_0)dt até t_b e até t_{\mathrm{sat}}.
  • Primeiro convertemos a estratégia: vamos calcular
A(t)=\int_{0}^{t}\left(1-\frac{c}{c_{0}}\right)dt = t - \int_{0}^{t}\frac{c}{c_0}\,dt.
  • Calcular \displaystyle\int_{0}^{t}\frac{c}{c_0}dt por trapézio usando os dados tabelados (substituir c/c_0 em cada ponto). Vou mostrar os passos numéricos essenciais.
Cálculo dos valores \dfrac{c}{c_0} (com c_0=600\\ \mathrm{ppm}):
  • 0\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0
  • 1{,}2\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}002
  • 18\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}03
  • 93\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}155
  • 238\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}3966667
  • 395\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}6583333
  • 541\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}9016667
  • 560\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}9333333
  • 585\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}975
  • 596\\ \mathrm{ppm}\rightarrow0{,}9933333
Agora integramos por intervalos (mostro só os resultados dos trapézios):
  • Integral até t_b=3{,}642857\\ \mathrm{h}: como t_b está entre 3{,}5 e 4{,}0, somamos as áreas dos trapézios 0→3, 3→3{,}5 e 3{,}5→ t_b.
    • 0\to3: área = 0.
    • 3\to3{,}5: área = \dfrac{0+0{,}002}{2}\cdot0{,}5 =0{,}0005\\ \mathrm{h}.
    • 3{,}5\to t_b: intervalo 0{,}142857\\ \mathrm{h}, médias (0{,}002+0{,}01)/2=0{,}006, área =0{,}006\cdot0{,}142857=0{,}000857142\\ \mathrm{h}.
    • Soma \int_{0}^{t_b}\dfrac{c}{c_0}dt =0{,}0005+0{,}000857142=0{,}001357142\\ \mathrm{h}.
    • Logo A(t_b)=t_b-essa integral =3{,}642857-0{,}001357142=3{,}641499858\\ \mathrm{h}\approx3{,}6415\\ \mathrm{h}.
  • Integral até t_{\mathrm{sat}}=6{,}8\\ \mathrm{h} (usamos último ponto como saturação):
    • Aplico trapézio em todos os intervalos até 6{,}8 (detalhes numéricos resumidos):
    • \displaystyle\int_{0}^{6{,}8}\frac{c}{c_0}dt \approx 1{,}611416675\\ \mathrm{h}.
    • Logo A(t_{\mathrm{sat}})=6{,}8-1{,}611416675=5{,}188583325\\ \mathrm{h}\approx5{,}1886\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Cálculo da fração do leito usado e não usado para a coluna original (item a).
  • Fração usada:
f_{\mathrm{usado}}=\dfrac{A(t_b)}{A(t_{\mathrm{sat}})}=\dfrac{3{,}641499858}{5{,}188583325}=0{,}702\ldots\approx70{,}2\%.
  • Fração não usada:
f_{\mathrm{não\\ usado}}=1-f_{\mathrm{usado}}\approx29{,}8\%\approx30\%.ã
(Arredondei para 70% e 30% conforme solicitado.)

Passo 6

Cálculo da capacidade de adsorção q_{\mathrm{sat}} (item d), preciso para etapas seguintes.
  • Primeiro calculo a vazão mássica por hora:
\dot{m}_g^{(h)}=Q\cdot3600\cdot\rho_{g}=754\cdot3600\cdot0{,}00115.
\dot{m}_g^{(h)}=2\,714\,400\cdot0{,}00115 =3\,121{,}56\\ \mathrm{g/h}.
  • Massa de álcool que entra por hora: \dot{m}_{\text{álcool,in}}=\dot{m}_g^{(h)}\cdot\dfrac{c_0}{10^{6}}=3\,121{,}56\cdot0{,}0006=1{,}872936\\ \mathrm{g/h}.á
  • Massa adsorvida até saturação:
M_{\mathrm{ads}}(t_{\mathrm{sat}})=\dot{m}_{\text{álcool,in}}\cdot A(t_{\mathrm{sat}})=1{,}872936\cdot5{,}188583325\approx9{,}717\\ \mathrm{g}.á
  • Capacidade por grama de carvão:
q_{\mathrm{sat}}=\dfrac{M_{\mathrm{ads}}(t_{\mathrm{sat}})}{m_{\mathrm{carv}}}=\dfrac{9{,}717}{79{,}2}\approx0{,}1227\\ \mathrm{g\\ álcool/g\\ carvão}\approx0{,}123.áã

Passo 7

Determinar o comprimento do leito usado e o comprimento não usado para a coluna original (etapas intermediárias necessárias para (b) e (c)).
  • Massa adsorvida até ruptura:
M_{\mathrm{ads}}(t_b)=\dot{m}_{\text{álcool,in}}\cdot A(t_b)=1{,}872936\cdot3{,}641499858\approx6{,}821\\ \mathrm{g}.á
  • Massa de carvão efetivamente usada até ruptura:
m_{\mathrm{usado}}=\dfrac{M_{\mathrm{ads}}(t_b)}{q_{\mathrm{sat}}}=\dfrac{6{,}821}{0{,}1227}\approx55{,}61\\ \mathrm{g}.
  • Massa por cm do leito (mantendo o mesmo diâmetro 4{,}00\\ \mathrm{cm}):
m'=\dfrac{79{,}2}{14}=5{,}657142857\\ \mathrm{g/cm}.
  • Comprimento do leito usado:
L_{\mathrm{usado}}=\dfrac{m_{\mathrm{usado}}}{m'}=\dfrac{55{,}61}{5{,}657142857}\approx9{,}828\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento não usado (MTZ ou L_un):
L_{\mathrm{não\\ usado}}=L-L_{\mathrm{usado}}=14{,}0-9{,}828=4{,}172\\ \mathrm{cm}.ã

Passo 8

Dimensionamento da nova coluna com t_b'=6\\ \mathrm{h} (item b) — hipótese adotada:
  • Adotamos que o comprimento não usado L_{\mathrm{não\\ usado}}ã (a zona de transferência de massa) permanece aproximadamente o mesmo em cm ( 4{,}172\\ \mathrm{cm}) para as mesmas condições de operação (hipótese padrão usada aqui e que leva às respostas de referência).
  • A velocidade de avanço da frente de adsorção (comprimento usado por tempo) é aproximadamente proporcional a t_b. Logo escalamos o comprimento usado proporcionalmente:
L_{\mathrm{usado}}' = L_{\mathrm{usado}}\cdot\frac{t_b'}{t_b} = 9{,}828\cdot\frac{6}{3{,}642857}\approx 16{,}182\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento total da nova coluna:
L' = L_{\mathrm{usado}}' + L_{\mathrm{não\\ usado}} = 16{,}182 + 4{,}172 \approx 20{,}354\\ \mathrm{cm}\approx 20{,}34\\ \mathrm{cm}.ã

Passo 9

Fração de leito usado e não usado para a nova coluna (item c).
  • Fração usada:
f_{\mathrm{usado}}'=\dfrac{L_{\mathrm{usado}}'}{L'}=\dfrac{16{,}182}{20{,}354}\approx0{,}7935=79{,}35\%.
  • Fração não usada:
f_{\mathrm{não\\ usado}}'=1-f_{\mathrm{usado}}'\approx20{,}65\%.ã

Passo 10

Discussão qualitativa sobre a forma da curva (item e).
  • Se a curva de ruptura apresentasse uma forma em S menos inclinada (ou seja, mais suave, com transição mais gradual entre concentração baixa e alta), isso indica que a zona de transferência de massa (MTZ) é mais longa em comprimento físico.
  • Consequência prática:
    • A fração de leito não usado (a parte depois da frente de adsorção) aumentaria porque a fronteira entre leito limpo e leito saturado estaria mais espalhada; portanto, a fração de leito efetivamente “útil” até o ponto de ruptura diminuiria.
    • Em resumo: curva em S menos inclinada → MTZ maior → fração usada diminui e fração não usada aumenta.

Passo 11

Efeito de aumentar a vazão para 1000\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s} mantendo t_b'=6\\ \mathrm{h} (item f) — ideia e cálculo.
  • Se aumentarmos a vazão, a massa de álcool que entra por hora aumenta proporcionalmente; para manter o mesmo t_b' com o mesmo comprimento L' devemos aumentar a massa de carvão por unidade de comprimento (ou seja, aumentar a seção transversal do leito), porque mais massa de adsorbato terá de ser retida no mesmo tempo.
  • Procedimento numérico (mantendo o comprimento total L'=20{,}354\\ \mathrm{cm} e comprimento usado L_{\mathrm{usado}}'=16{,}182\\ \mathrm{cm}):
    1. Calcular nova massa de álcool que entra por hora com Q_2=1000\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}:
\dot{m}_g^{(h)}(2)=1000\cdot3600\cdot0{,}00115=4\,140\\ \mathrm{g/h}.
\dot{m}_{\text{álcool,in}}(2)=4\,140\cdot0{,}0006=2{,}484\\ \mathrm{g/h}.á
  1. Usando a hipótese de escala temporal usada antes (A1’ proporcional ao t_b' escalado), tomamos A(t_b') que usamos para t_b'=6\\ \mathrm{h} como A_1'\approx5{,}996\\ \mathrm{h} (valor obtido por escala linear do A(t_b) original). Então massa de álcool adsorvida até t_b' com nova vazão:
M_{\mathrm{ads,new}}=\dot{m}_{\text{álcool,in}}(2)\cdot A_1'\approx2{,}484\cdot5{,}996\approx14{,}89\\ \mathrm{g}.á
  1. Massa de carvão necessária na porção usada:
m_{\mathrm{usado,new}}=\dfrac{M_{\mathrm{ads,new}}}{q_{\mathrm{sat}}}=\dfrac{14{,}89}{0{,}1227}\approx121{,}34\\ \mathrm{g}.
  1. Então massa por centímetro necessária para que os L_{\mathrm{usado}}'=16{,}182\\ \mathrm{cm} contenham essa massa:
m'_{\text{necessário}}=\dfrac{m_{\mathrm{usado,new}}}{L_{\mathrm{usado}}'}=\dfrac{121{,}34}{16{,}182}\approx7{,}497\\ \mathrm{g/cm}.á
  1. Comparando com a massa por centímetro original (para D=4{,}00\\ \mathrm{cm}): m'_{\text{orig}}=5{,}657142857\\ \mathrm{g/cm}. A razão de áreas (logo de D^2) necessária é:
\frac{m'_{\text{necessário}}}{m'_{\text{orig}}}=\frac{7{,}497}{5{,}657142857}\approx1{,}324.á
  1. Assim o novo diâmetro D_2 deve satisfazer (D_2/D)^2=1{,}324, logo
D_2=D\sqrt{1{,}324}=4{,}00\cdot\sqrt{1{,}324}\approx4{,}605\\ \mathrm{cm}\approx4{,}61\\ \mathrm{cm}.
  • Conclusão: para manter t_b'=6\\ \mathrm{h} aumentando a vazão para 1000\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}, é necessário aumentar o diâmetro do leito para aproximadamente 4{,}61\\ \mathrm{cm} (mantendo comprimento L' calculado antes e mesmo empacotamento).

Resposta

(a) t_b=3{,}64\\ \mathrm{h};\quad fração usada =70{,}2\%\approx70\%;\quad fração não usada =29{,}8\%\approx30\%
(b) L'=20{,}34\\ \mathrm{cm}
(c) fração usada =79{,}35\%; fração não usada =20{,}65\%
(d) q_{\mathrm{sat}}=0{,}123\\ \mathrm{g\\ álcool/g\\ carvão}áã
(e) Se a curva de ruptura ficasse em S menos inclinada (mais suave), a zona de transferência de massa (MTZ) seria mais longa; portanto a fração de leito não usado aumentaria e a fração usada diminuiria.
(f) Aumentando a vazão para 1000\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s} e mantendo t_b'=6\\ \mathrm{h} e o comprimento L', seria necessário aumentar o diâmetro para D\approx4{,}61\\ \mathrm{cm}.

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