A adsorção de um gás é descrita pela isoterma de Langmuir com \alpha=0,75 \mathrm{kPa}^{-1}, a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a pressão em que o grau de recobrimento da superfície é de
(i) 0,15

Passo 1

O enunciado pede para calcular a pressão quando o grau de recobrimento da superfície é 0,15.
Informações fornecidas:
  • Constante da isoterma de Langmuir: \alpha=0,75\\ \mathrm{kPa}^{-1}.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (informação dada, mas não necessária para os cálculos pedidos).
  • Grau de recobrimento pedido: \theta=0,15.

Passo 2

Apresento a relação fundamental usada aqui (a isoterma de Langmuir) e explico o que cada símbolo significa. A isoterma de Langmuir relaciona o grau de recobrimento \theta (fração da superfície ocupada) com a pressão do gás p por:
\theta=\frac{\alpha p}{1+\alpha p}.
Explicação dos termos:
  • \theta: fração da superfície ocupada pelo adsorvato; varia entre 0 (vazio) e 1 (completamente coberto).
  • p: pressão parcial do gás (unidade: \mathrm{kPa} aqui).
  • \alpha: constante relacionada à afinidade do adsorvente pelo adsorvato; tem unidade \mathrm{kPa}^{-1} para que \alpha p seja adimensional.
Breve intuição física: quando p é pequeno, \alpha p\ll1 e \theta\approx\alpha p (recobrimento proporcional à pressão). Quando p cresce muito, \theta tende a 1 (superfície saturada).

Passo 3

Isolamos p na equação para poder calcular a pressão a partir de um \theta conhecido. Começamos com
\theta=\frac{\alpha p}{1+\alpha p}.
Multiplicando ambos os lados por 1+\alpha p obtemos
\theta(1+\alpha p)=\alpha p.
Distribuindo o lado esquerdo:
\theta + \theta\alpha p = \alpha p.
Colocamos os termos com p de um lado:
\theta = \alpha p - \theta\alpha p = \alpha p(1-\theta).
Finalmente, isolando p:
p=\frac{\theta}{\alpha(1-\theta)}.
Essa fórmula é muito útil em prova: dado \theta e \alpha, basta substituir.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos conhecidos na expressão obtida. Temos \theta=0,15 e \alpha=0,75\\ \mathrm{kPa}^{-1}. Assim
p=\frac{0,15}{0,75\cdot(1-0,15)}.

Passo 5

Calculamos passo a passo o denominador para não errar:
1-0,15=0,85.
Em seguida
0,75\cdot 0,85 = 0,6375.
Portanto a pressão procurada é obtida dividindo-se 0,15 por 0,6375; faça essa divisão para obter o valor numérico de p em \mathrm{kPa}.

Passo 6

Unidade e interpretação: como \alpha tinha unidade \mathrm{kPa}^{-1}, o resultado para p vem em \mathrm{kPa}. O valor obtido será um número menor que 1\\ \mathrm{kPa} (pois \theta=0,15 é um recobrimento pequeno). Força você a fazer a divisão 0,15\div 0,6375 com calma (modo clássico na prova: multiplicar numerador e denominador por 10000 e fazer divisão inteira, ou usar calculadora se permitida).

Resposta

p=0,235\\ \mathrm{kPa}

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