Em uma adutora de diâmetro 150 mm , feita de aço soldado novo, \varepsilon=0,10 \mathrm{~mm}, enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados de 500 m . No ponto A, a cota piezométrica é de 657,58 \mathrm{~m} e a vazão é de 38,88 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. No ponto B, a cota piezométrica é de 643,43 \mathrm{~m} e a vazão é de 31,1 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A que distância do ponto A está localizado o vazamento? Repita o cálculo, utilizando a fórmula de Hazen-Williams.

Passo 1

O enunciado descreve uma adutora enterrada de comprimento total L=500,m e diâmetro interno D=0{,}150,m, em que há um vazamento em um ponto desconhecido a uma distância x de A. No ponto A mede-se vazão Q_{1}=38{,}88,L/s e cota piezométrica H_{A}=657{,}58,m; no ponto B, a jusante, mede-se Q_{2}=31{,}10,L/s e cota H_{B}=643{,}43,m. A perda de carga total entre A e B vale
\Delta H = H_{A}-H_{B} = 14{,}15\text{ m.}
Vamos usar a equação de energia simplificada (diferença de cotas piezométricas igual à soma das perdas de carga) e, primeiro, o modelo de Darcy–Weisbach; em seguida, refazemos o cálculo com Hazen-Williams.

Passo 2

Pelo balanço de energia entre A e B, desprezando variações de carga cinética e localizadas além do vazamento, temos
\Delta H = h_{f1}+h_{f2},
onde
h_{f1} = \lambda_{1}\,\frac{x}{D}\,\frac{v_{1}^{2}}{2g}, \quad h_{f2} = \lambda_{2}\,\frac{L - x}{D}\,\frac{v_{2}^{2}}{2g}.
Aqui v_{i}=Q_{i}/A, A=\pi D^{2}/4, g=9{,}81,m/s², e \lambda_{i} calculada pela fórmula de Swamee–Jain (aproximação explícita de Colebrook).

Passo 3

Cálculo de v_{1},v_{2}, números de Reynolds e \lambda_{1},\lambda_{2}:
A = \frac{\pi(0{,}150)^{2}}{4} \approx 0{,}01767\text{ m}^{2},
v_{1} = \frac{0{,}03888}{A} \approx 2{,}20\text{ m/s}, \quad v_{2} = \frac{0{,}03110}{A} \approx 1{,}76\text{ m/s},
\mathrm{Re}_{1}=\frac{v_{1}D}{\nu}\approx 3{,}30\times10^{5}, \quad \mathrm{Re}_{2}\approx 2{,}64\times10^{5},
\varepsilon=0{,}10\text{ mm}=1\times10^{-4}\text{ m}.
Swamee–Jain:
\lambda = \frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \tfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\bigr)\bigr]^{2}}.
Com isso obtêm-se numericamente
\lambda_{1}\approx0{,}01912, \quad \lambda_{2}\approx0{,}01935.

Passo 4

Cabe calcular os coeficientes de perda por metro em cada trecho:
k_{1} = \lambda_{1}\,\frac{v_{1}^{2}}{2gD} \approx 0{,}01912\;\frac{2{,}20^{2}}{2\cdot9{,}81\cdot0{,}150} \approx0{,}03145\text{ m/m},
k_{2} = \lambda_{2}\,\frac{v_{2}^{2}}{2gD} \approx0{,}01935\;\frac{1{,}76^{2}}{2\cdot9{,}81\cdot0{,}150} \approx0{,}02037\text{ m/m}.
A equação \Delta H = k_{1}x + k_{2}(500-x) fica
0{,}03145\,x +0{,}02037\,(500-x) =14{,}15,
(0{,}03145-0{,}02037)\,x =14{,}15 -0{,}02037\cdot500 \;\;\Rightarrow\;\; 0{,}01108\,x =3{,}965 \;\;\Rightarrow\;\; x \approx 358\text{ m}.

Passo 5

Usando Hazen–Williams com C=140, a perda por metro é
k = \frac{10{,}67\,Q^{1,852}}{C^{1,852}\,D^{4,87}}.
Para Q_{1}=0{,}03888 m³/s e Q_{2}=0{,}03110 m³/s, obtém-se
k_{1}\approx0{,}02855\text{ m/m}, \quad k_{2}\approx0{,}01861\text{ m/m}.
Então
0{,}02855\,x +0{,}01861\,(500-x)=14{,}15 \;\;\Rightarrow\;\; 0{,}00994\,x =4{,}845 \;\;\Rightarrow\;\; x\approx488\text{ m}.

Resposta

Distância do vazamento ao ponto A:
– Usando Darcy–Weisbach: x\approx358,m.
– Usando Hazen–Williams: x\approx488,m.

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