Um ensaio de campo foi conduzido em uma adutora de 6^{\prime \prime} de diâmetro para determinar as condições de rugosidade da parede. O ensaio foi feito medindo-se a pressão em dois pontos A e B, distantes 1017 m entre si, com diferença de cotas topográficas de 30 m , sendo o ponto A mais baixo que o ponto B. A vazão conduzida no momento do ensaio era de 26,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A pressão medida em A foi de 68,6 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2} e, em B foi de 20,6 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2}. Determine a rugosidade absoluta da adutora.

Passo 1

O enunciado descreve um ensaio em uma adutora de diâmetro \,6''\approx0{,}1524\rm \,m onde se mediram pressões em dois pontos A e B, separados por L=1017\rm \,m e com diferença de cotas \Delta z=30\rm \,m ( A é o mais baixo). A vazão era Q=26{,}5\rm \,L/s. Pede-se a rugosidade absoluta \varepsilon. Para resolver vamos usar o balanço de energia (Bernoulli + perda por atrito), a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga e a equação implícita de Colebrook–White para \varepsilon.

Passo 2

Primeiro convertemos as pressões para alturas de pressão e calculamos a perda de carga h_f.
As pressões são
P_A = 68{,}6\frac{\rm N}{\rm cm^2}=68{,}6\times10^4\rm \,Pa,\quad P_B = 20{,}6\frac{\rm N}{\rm cm^2}=20{,}6\times10^4\rm \,Pa.
Com densidade \rho=1000\rm \,kg/m^3 e g=9{,}81\rm \,m/s^2, as alturas de pressão são
h_{pA}=\frac{P_A}{\rho g}\approx\frac{6{,}86\times10^5}{1000\cdot9{,}81}\approx69{,}95\rm \,m,
h_{pB}=\frac{P_B}{\rho g}\approx\frac{2{,}06\times10^5}{1000\cdot9{,}81}\approx20{,}997\rm \,m.
Somando com as cotas ( z_A=0, z_B=30\rm \,m), as energias totais são H_A=69{,}95 m e H_B=20{,}997+30=50{,}997 m. Logo a perda de carga é
h_f = H_A - H_B \approx 69{,}95 - 50{,}997 = 18{,}953\rm \,m.

Passo 3

Calculamos a velocidade média e o fator de atrito f. A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0{,}1524)^2}{4}\approx0{,}018248\rm \,m^2,
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}0265}{0{,}018248}\approx1{,}453\rm \,m/s.
Pela fórmula de Darcy–Weisbach
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{2g\,D\,h_f}{L\,V^2}.
Substituindo
f\approx \frac{2\cdot9{,}81\cdot0{,}1524\cdot18{,}953}{1017\cdot(1{,}453)^2}\approx0{,}0264.
O número de Reynolds é
\text{Re}=\frac{V D}{\nu}\approx\frac{1{,}453\cdot0{,}1524}{1\times10^{-6}}\approx2,2\times10^5,
confirmando fluxo turbulento.

Passo 4

Agora usamos a equação de Colebrook–White para relacionar f, \text{Re} e a rugosidade relativa \varepsilon/D:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2{,}0\;\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{\text{Re}\,\sqrt{f}}\Bigr).
Numericamente \,1/\sqrt{0{,}0264}\approx6{,}155, logo
6{,}155 = -2{,}0\,\log_{10}(A) \quad\Longrightarrow\quad A=10^{-3{,}0775}\approx8{,}36\times10^{-4}.
O termo \dfrac{2{,}51}{\text{Re}\sqrt{f}}\approx6{,}97\times10^{-5}. Então
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} = 8{,}36\times10^{-4} - 6{,}97\times10^{-5} =7{,}663\times10^{-4},
\frac{\varepsilon}{D} = 3{,}7\cdot7{,}663\times10^{-4}\approx2{,}837\times10^{-3},
\varepsilon = 2{,}837\times10^{-3}\times0{,}1524\rm \,m \approx4{,}32\times10^{-4}\rm \,m.

Resposta

A rugosidade absoluta da adutora é
\boxed{\varepsilon \approx 4{,}3\times10^{-4}\rm \,m.}

Exercícios relacionados