5^a Questão: Encontre o valor médio da função no intervalo dado: ãéçã
(c) f(x)=x e^-x^2 [0,5]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x)=x e^-x^2
no intervalo [0,5]. Para isso, usamos a definição de valor médio de uma função em [a,b]:
bar f = 1b-aintegrala^bf(x),dx
Aqui teremos a=0, b=5 e precisaremos calcular a integral integral0^5x e^-x^2,dx, usando substituição simples.

Passo 2

Calculemos
integral0^5x e^-x^2,dx
Fazemos a substituição
u=-x^2Longrightarrow du=-2x,dxLongrightarrow x,dx=-tfrac12du
Então a integral fica
integral x e^-x^2,dx = integral e^ul(-tfrac12dur) = -tfrac12integral e^u,du = -tfrac12e^u + C = -tfrac12e^-x^2 + C

Passo 3

Agora avaliamos nos limites de 0 a 5:
integral0^5x e^-x^2,dx = l[-tfrac12e^-x^2r]0^5 = -tfrac12l(e^-25-e^0r) = tfrac12l(1 - e^-25r)

Passo 4

Finalmente, o valor médio é
bar f = 15-0integral0^5x e^-x^2,dx = 15cdot 12l(1 - e^-25r) = 1 - e^-2510

Resposta

bar f = 1 - e^-2510

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