3^a Questão: Calcule a derivada das seguintes funções:
(h) F(x)=integral0^x^3 traiz1+t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=integral0^x^3traiz1+t^3,dt
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que relaciona integral e derivada) junto com a Regra da Cadeia, pois o limite superior é x^3.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=integral0^u(x)f(t),dt,
então
G'(x)=fl(u(x)r),u'(x)
Aqui u(x)=x^3 e f(t)=tfractraiz1+t^3.

Passo 3

Aplicando essa fórmula a F(x), obtemos
F'(x) =fl(x^3r),ddxl(x^3r)

Passo 4

Calculamos cada parte:
fl(x^3r) =x^3raiz1+(x^3)^3 =x^3raiz1+x^9
e
ddxl(x^3r)=3x^2

Passo 5

Multiplicando as duas expressões:
F'(x) =x^3raiz1+x^9;cdot;3x^2 =3x^5raiz1+x^9

Resposta

F'(x)=3x^5raiz1+x^9

Exercícios relacionados