2^a Questão: Calcu<= as seguintes integrais definidas: ã
(f) integral0^3|x^2-3 x+2| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^3l|x^2-3x+2r|,dx.
O conteúdo envolve integrais de funções definidas por partes usando valor absoluto, e vamos precisar encontrar as raízes do polinômio x^2-3x+2 para dividir o intervalo.

Passo 2

Encontramos as raízes resolvendo
x^2-3x+2=0
Fatorando,
x^2-3x+2=(x-1)(x-2),
logo as raízes são x=1 e x=2. Essas raízes particionam [0,3] em três subintervalos: [0,1], [1,2] e [2,3].
Ao testar um ponto em cada trecho, por exemplo:
em x=0,5, 0,25-1,5+2=0,75>0;
em x=1,5, 2,25-4,5+2=-0,25<0;
em x=2,5, 6,25-7,5+2=0,75>0.
Portanto
|x^2-3x+2| = x^2-3x+2, & xin[0,1]cup[2,3], -(x^2-3x+2), & xin[1,2]

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de três integras sem valor absoluto:
integral0^3l|x^2-3x+2r|,dx = integral0^1(x^2-3x+2),dx + integral1^2-(x^2-3x+2),dx + integral2^3(x^2-3x+2),dx

Passo 4

Determinamos uma primitiva de x^2-3x+2:
F(x)=x^33-3x^22+2x
A primitiva de -(x^2-3x+2) é
G(x)=-x^33+3x^22-2x
Calculando cada parte:
integral0^1(x^2-3x+2),dx =F(1)-F(0) =l(tfrac13-tfrac32+2r)-0 =tfrac56,
integral1^2-(x^2-3x+2),dx =G(2)-G(1) =l(-tfrac83+6-4r) - l(-tfrac13+tfrac32-2r) =-tfrac23-l(-tfrac56r) =tfrac16,
integral2^3(x^2-3x+2),dx =F(3)-F(2) =l(9-tfrac272+6r) - l(tfrac83-6+4r) =tfrac32-tfrac23 =tfrac56
Somando as três parcelas:
tfrac56+tfrac16+tfrac56=tfrac116

Resposta

116

Exercícios relacionados