Um aeromodelo de massa igual a 0,75 \mathrm{~kg} voa com velocidade constante, descrevendo uma circunferência horizontal. Ele está preso a uma das extremidades de uma corda de 30 m de comprimento, a uma altura de 18 m . A outra extremidade está presa ao solo. O aeromodelo gira a 4,4 rotações por minuto e a força de sustentação é perpendicular às asas. (a) Qual o valor da aceleração do avião? (b) Qual o valor da tensão na corda? (c) Qual o valor da força de sustentação produzida pelas asas do avião?

Passo 1

O enunciado diz que um aeromodelo de massa m=0,75\\ \mathrm{kg} descreve uma circunferência horizontal, preso por uma corda de comprimento L=30\\ \mathrm{m} cuja outra extremidade está no solo, e o aeromodelo está a h=18\\ \mathrm{m} de altura. Ele gira com 4{,}4 rotações por minuto e a força de sustentação F_s é perpendicular às asas. Vamos usar:
• Cinemática da velocidade angular e aceleração centrípeta.
• Decomposição da tensão da corda em componentes horizontal (para manter a trajetória circular) e vertical (para equilibrar peso e sustentação).

Passo 2

Primeiro encontramos o raio da trajetória horizontal. A corda tem projeção horizontal
r = \sqrt{L^2 - h^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = 24\\ \mathrm{m}.
A frequência em hertz é
f = \frac{4{,}4}{60}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx0{,}0733\\ \mathrm{Hz},
e a velocidade angular
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot0{,}0733\approx0{,}460\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A aceleração centrípeta vale
a_c = \omega^2\,r \approx (0{,}460)^2\cdot24\approx5{,}09\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Agora a tensão T na corda fornece a força centrípeta pela componente horizontal. Se \alpha é o ângulo que a corda faz com a horizontal, temos
\cos\alpha = \frac{r}{L} = \frac{24}{30}=0{,}8.
Então
T\cos\alpha = m\,a_c \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{m\,a_c}{\cos\alpha} = \frac{0{,}75\cdot5{,}09}{0{,}8} \approx4{,}77\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Na direção vertical, não há aceleração, logo a soma das forças verticais é zero. A componente vertical da tensão é para baixo e vale
T\sin\alpha \quad\text{com}\quad \sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{18}{30}=0{,}6.
Equilíbrio vertical: F_s para cima menos peso mg menos T\sin\alpha é zero, isto é
F_s - m g - T\sin\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad F_s = m g + T\sin\alpha.
Substituindo,
F_s = 0{,}75\cdot9{,}8 + 4{,}77\cdot0{,}6 \approx7{,}35 + 2{,}86 = 10{,}21\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) a_c\approx5{,}09\\ \mathrm{m/s^2}
(b) T\approx4{,}77\\ \mathrm{N}
(c) F_s\approx10{,}21\\ \mathrm{N}

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