Uma gota de chuva de raio \mathrm{R}=1,5 \mathrm{~mm} cai de uma nuvem que está a uma altura \mathrm{h}=1200 \mathrm{~m} acima do solo. Considere uma força de arrasto dada pela expressão: F=\frac{1}{2} C \rho A v^{2} onde C, coeficiente de arrasto da gota é 0,60 . Suponha que a gota permaneça esférica durante toda a queda. A massa específica da água é \rho_{a}=1000 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}, e a massa específica do ar é \rho_{a r}=1,21 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}. (a) Qual é a velocidade terminal da gota? (b) Qual seria a velocidade da gota imediatamente antes do impacto com o chão se não existisse a força de arrasto?

Passo 1

Temos uma gota de chuva esférica de raio \;R=1,5\times10^{-3}\,\mathrm{m} que cai de uma altura \;h=1200\,\mathrm{m}. A gota sofre peso para baixo e arrasto para cima dado por
F_{\text{arr}}=\tfrac12\,C\,\rho_{\text{ar}}\,A\,v^2,
com C=0,60, \rho_{\text{ar}}=1,21\,\mathrm{kg/m^3} e A área de seção da gota. O objetivo é:
a) achar a velocidade terminal v_t (quando peso e arrasto se equilibram);
b) achar a velocidade ao impactar se não houvesse arrasto (queda livre).

Passo 2

Para a velocidade terminal igualamos peso e arrasto:
m\,g = \tfrac12\,C\,\rho_{\text{ar}}\,A\,v_t^2
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v_t = \sqrt{\frac{2\,m\,g}{C\,\rho_{\text{ar}}\,A}}.

Passo 3

Calculamos a massa m da gota e sua área A:
m = \rho_{a}\,\frac{4}{3}\pi R^3 =1000\cdot\frac{4}{3}\pi(1,5\times10^{-3})^3 \approx1,41\times10^{-5}\,\mathrm{kg},
A = \pi R^2 =\pi(1,5\times10^{-3})^2 \approx7,07\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}.

Passo 4

Substituindo em v_t:
v_t =\sqrt{\frac{2\cdot1,41\times10^{-5}\cdot9,81} {0,60\cdot1,21\cdot7,07\times10^{-6}}} \approx7,35\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Sem arrasto, a velocidade ao cair de h é da queda livre:
v=\sqrt{2\,g\,h} =\sqrt{2\cdot9,81\cdot1200} \approx153,5\,\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \;v_t\approx7,35\,\mathrm{m/s}.
(b) \;v\approx153,5\,\mathrm{m/s}.

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