(Aeronáutica 2021) Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa progressão aritmética formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. O professor observou também que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a
a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

Passo 1

O enunciado diz que temos uma progressão aritmética (PA) crescente de 8 termos, todos naturais, com primeiro termo igual a 3 e razão d>0. Ou seja, o n-ésimo termo é
a_n = 3 + (n-1)d.
Além disso, o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa PA formam, nessa ordem, uma progressão geométrica (PG). Precisamos usar essa condição de PG para achar d e, em seguida, calcular a soma desses três termos.

Passo 2

Escrevendo os três termos em função de d:
a_2 = 3 + d,\quad a_4 = 3 + 3d,\quad a_8 = 3 + 7d.
Para que \bigl(a_2,a_4,a_8\bigr) seja uma PG, basta que
\frac{a_4}{a_2} \;=\; \frac{a_8}{a_4}.
Substituindo:
\frac{3 + 3d}{3 + d} \;=\; \frac{3 + 7d}{3 + 3d}.

Passo 3

Resolvendo
(3 + 3d)^2 = (3 + d)(3 + 7d)
temos
9 + 18d + 9d^2 = 9 + 24d + 7d^2 \;\Longrightarrow\; 2d^2 -6d = 0 \;\Longrightarrow\; d(d - 3) = 0.
Como d>0, segue d = 3. Logo, os termos da PG são
a_2 = 3 + 3 = 6,\quad a_4 = 3 + 9 = 12,\quad a_8 = 3 + 21 = 24.

Passo 4

Basta somar esses três termos:
S = a_2 + a_4 + a_8 = 6 + 12 + 24 = 42.

Resposta

a) 42

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