Integre
\int \frac{6 x^{2}+4 x+14}{\left(x^{2}+5\right)(x+3)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{6x^{2}+4x+14}{(x^{2}+5)(x+3)}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional; vamos usar decomposição em frações parciais para escrever o integrando como soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Procuramos constantes A, B e C tais que
\frac{6x^{2}+4x+14}{(x^{2}+5)(x+3)} =\frac{Ax+B}{x^{2}+5}+\frac{C}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+5)(x+3), temos
6x^{2}+4x+14=(Ax+B)(x+3)+C(x^{2}+5).

Passo 3

Expandindo o numerador à direita:
(Ax+B)(x+3)=Ax^{2}+(3A+B)x+3B,
então
6x^{2}+4x+14=(A+C)x^{2}+(3A+B)x+(3B+5C).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+C=6,\\\\ 3A+B=4,\\\\ 3B+5C=14. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • De 3A+B=4 vem B=4-3A.
  • Substituindo em 3B+5C=14:
    3(4-3A)+5C=14\implies12-9A+5C=14\implies5C=2+9A\implies C=\tfrac{2+9A}{5}.
  • Como também A+C=6, substituímos C:
    A+\tfrac{2+9A}{5}=6\implies5A+2+9A=30\implies14A=28\implies A=2.
  • Logo B=4-3\cdot2=-2 e C=\tfrac{2+9\cdot2}{5}=4.

Passo 5

A integral fica
\int\!\frac{6x^{2}+4x+14}{(x^{2}+5)(x+3)}\,dx =\int\!\frac{2x-2}{x^{2}+5}\,dx +4\int\!\frac{1}{x+3}\,dx.
Separamos
\int\frac{2x-2}{x^{2}+5}\,dx =\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx -2\int\frac{1}{x^{2}+5}\,dx.

Passo 6

Calculemos cada termo:
  1. Com u=x^{2}+5, du=2x\,dx, \int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx =\ln\bigl|x^{2}+5\bigr|.
  2. Usando \int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr) com a=\sqrt{5}: \int\frac{1}{x^{2}+5}\,dx =\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\bigr).
  3. E \int\frac{1}{x+3}\,dx =\ln\bigl|x+3\bigr|.

Passo 7

Juntando tudo:
\int\frac{2x-2}{x^{2}+5}\,dx =\ln\bigl(x^{2}+5\bigr) -2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\bigr)
e
4\int\frac{1}{x+3}\,dx =4\ln\bigl|x+3\bigr|.
Assim a integral original vale
\ln\bigl(x^{2}+5\bigr) -\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) +4\ln\bigl|x+3\bigr| + C.

Resposta

\boxed{ \ln\bigl(x^{2}+5\bigr) -\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) +4\ln\bigl|x+3\bigr| + C }

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