Uma aeronave voa entre duas cidades separadas de 4800 km com velocidade constante de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a duração da viagem para um observador no solo? E para um observador dentro da aeronave? Dica: Como a sua calculadora não apresenta precisão suficiente, considere fazer uma expansão binomial: (1+x)^{n}= 1+n x+n(n-1) \frac{x^{2}}{2}+\ldots.

Passo 1

O enunciado dá a distância entre as cidades d=4800\:\mathrm{km} e a velocidade constante da aeronave v=300\:\mathrm{m/s}. Pede (i) o tempo de viagem para um observador no solo e (ii) o tempo próprio para um observador dentro da aeronave, levando em conta dilatação temporal relativística. Para (i) basta usar t=d/v. Para (ii) usamos a fórmula da relatividade restrita
\tau = t\,\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}
e aplicamos a expansão binomial em \sqrt{1-x}=(1-x)^{1/2} com x=v^{2}/c^{2}\ll1.

Passo 2

Convertendo a distância para metros e calculando o tempo no solo:
d = 4800\:\mathrm{km} = 4{,}8\times10^{6}\:\mathrm{m},
t = \frac{d}{v} = \frac{4{,}8\times10^{6}}{300} = 1{,}6\times10^{4}\:\mathrm{s}\approx4{,}44\:\mathrm{h}.

Passo 3

Para o observador na aeronave, o tempo próprio é
\tau = t\,\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}},
onde
\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{(300)^{2}}{(3{,}0\times10^{8})^{2}} = \frac{9\times10^{4}}{9\times10^{16}} = 1\times10^{-12}.

Passo 4

Usando a expansão binomial
\sqrt{1-x} = (1-x)^{1/2} \approx 1 - \frac{x}{2}
com x=10^{-12}, obtemos
\tau \approx t\Bigl(1-\frac{1}{2}\,10^{-12}\Bigr) = 1{,}6\times10^{4}\:\mathrm{s}\,\Bigl(1-5\times10^{-13}\Bigr) = 1{,}6\times10^{4}\:\mathrm{s} - 8\times10^{-9}\:\mathrm{s}.

Passo 5

O acréscimo relativístico é de apenas 8\times10^{-9}\:\mathrm{s}, desprezível diante de 1{,}6\times10^{4}\:\mathrm{s}.

Resposta

Para o observador no solo:
t = 1{,}6\times10^{4}\:\mathrm{s}\approx4{,}44\:\mathrm{h}.
Para o observador na aeronave:
\tau \approx 1{,}6\times10^{4}\:\mathrm{s} - 8\times10^{-9}\:\mathrm{s}\approx1{,}6\times10^{4}\:\mathrm{s}.

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