aestão 4. (10 pontos) Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) ()
.
(b) ( ) A derivada da função
é
.
(c) ( ) Se
pertence ao domínio da função
e
, então
é um ponto de inflexão da curva
.
d) ( ) A área da região delimitada pelo eixo
, pelo gráfico da função
e pelas retas
e
é
.
(a) ()
(b) ( ) A derivada da função
(c) ( ) Se
d) ( ) A área da região delimitada pelo eixo
Passo 1
O enunciado lista quatro afirmações envolvendo cálculo de integrais definidas (com valor absoluto), aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia, condição de ponto de inflexão via segunda derivada e área sob o gráfico de
. Para resolver vamos:
- Quebrar integrais com valor absoluto em intervalos onde o argumento muda de sinal.
- Usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para diferenciais de integrais dependentes de
. - Lembrar que
não garante mudança de concavidade sem verificar sinal de . - Calcular área como integral do valor absoluto de
entre os limites fornecidos.
Passo 2
Para (a),
note que
muda de sinal em
. Então
Uma primitiva de
é
, e de
é
. Calculando,
Somando dá
. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Para (b),
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia,
e não
. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 4
Para (c),
é condição necessária para ponto de inflexão, mas não suficiente: é preciso que o sinal de
mude ao passar por
. Sem essa verificação, não se garante inflexão. Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
Para (d), a área entre o gráfico de
, o eixo
e as retas
e
é
Calculando,
Total de
, não
. A afirmação é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa