aestão 4. (10 pontos) Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) () integral-2^0|x+1| d x=1.
(b) ( ) A derivada da função h(x)=integral0^x^2 e^t^2 d t é h^prime(x)=e^x^2.
(c) ( ) Se x0 pertence ao domínio da função f e f^prime prime(x0)=0, então (x0, f(x0)) é um ponto de inflexão da curva y=f(x).
d) ( ) A área da região delimitada pelo eixo x, pelo gráfico da função f(x)=sen x e pelas retas x=-pi3 e x=pi2 é 12.

Passo 1

O enunciado lista quatro afirmações envolvendo cálculo de integrais definidas (com valor absoluto), aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia, condição de ponto de inflexão via segunda derivada e área sob o gráfico de y=sen x. Para resolver vamos:
  1. Quebrar integrais com valor absoluto em intervalos onde o argumento muda de sinal.
  2. Usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para diferenciais de integrais dependentes de x.
  3. Lembrar que f''(x0)=0 não garante mudança de concavidade sem verificar sinal de f''.
  4. Calcular área como integral do valor absoluto de sen x entre os limites fornecidos.

Passo 2

Para (a),
integral-2^0|x+1|,dx
note que x+1 muda de sinal em x=-1. Então
integral-2^0|x+1|,dx =integral-2^-1 (-(x+1)),dx+integral-1^0(x+1),dx
Uma primitiva de -(x+1) é -tfracx^22-x, e de (x+1) é tfracx^22+x. Calculando,
integral-2^-1 (-(x+1)),dx =l[-tfracx^22-xr]-2^-1 =l(tfrac12r)-0 =tfrac12,
integral-1^0(x+1),dx =l[tfracx^22+xr]-1^0 =0-(-tfrac12) =tfrac12
Somando dá tfrac12+tfrac12=1. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Para (b), h(x)=integral0^x^2e^t^2,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia,
h'(x) =e^(x^2)^2cdotddx(x^2) =2x,e^x^4,
e não e^x^2. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 4

Para (c), f''(x0)=0 é condição necessária para ponto de inflexão, mas não suficiente: é preciso que o sinal de f''(x) mude ao passar por x0. Sem essa verificação, não se garante inflexão. Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Para (d), a área entre o gráfico de sen x, o eixo x e as retas x=-tfracpi3 e x=tfracpi2 é
integral-,pi/3^pi/2|sen x|,dx =integral-,pi/3^0(-sen x),dx +integral0^pi/2sen x,dx
Calculando,
integral-,pi/3^0(-sen x),dx =l[cos xr]-,pi/3^0 =1-tfrac12 =tfrac12,
integral0^pi/2sen x,dx =l[-cos xr]0^pi/2 =1
Total de tfrac12+1=tfrac32, não tfrac12. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa

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