1. Calcule a área de uma pétala da rosácea dada por r=3 sen 2 theta.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 3sin(2theta)
e pede a área de uma pétala. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2 , dtheta
e a identidade trigonométrica
sin^2 x = 1 - cos(2x)2
para resolver o integral.

Passo 2

Primeiro determinamos os limites de integração que correspondem a uma pétala. A pétala corresponde ao trecho em que r>=0 entre duas soluções consecutivas de
r=0iff sin(2theta)=0iff 2theta = kpiiff theta = kpi2
Tomando k=0 e k=1, obtemos o intervalo
0 <= theta <= pi2,
que é exatamente um “arco” em que a pétala é traçada.

Passo 3

Agora escrevemos o integral da área de uma pétala usando esses limites:
A = 12 integral0^pi/2 l(3sin(2theta)r)^2,dtheta = 12 integral0^pi/2 9,sin^2(2theta),dtheta = 92 integral0^pi/2 sin^2(2theta),dtheta

Passo 4

Aplicamos a identidade sin^2 x = tfrac1-cos(2x)2 com x=2theta:
sin^2(2theta) = 1 - cos(4theta)2
Logo
integral0^pi/2 sin^2(2theta),dtheta = integral0^pi/2 1 - cos(4theta)2,dtheta = 12integral0^pi/2 1,dtheta - 12integral0^pi/2cos(4theta),dtheta

Passo 5

Calculamos cada parte:
integral0^pi/21,dtheta = pi2,
integral0^pi/2cos(4theta),dtheta = sin(4theta)4|0^pi/2 = sin(2pi)-sin(0)4 =0
Portanto
integral0^pi/2 sin^2(2theta),dtheta = 12cdotpi2 = pi4

Passo 6

Substituindo de volta em
A = 92 integral0^pi/2 sin^2(2theta),dtheta
obtemos
A = 92cdotpi4 = 9pi8

Resposta

boxed9pi8

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