- Calcule a área de uma pétala da rosácea dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede a área de uma pétala. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares
e a identidade trigonométrica
para resolver o integral.
Passo 2
Primeiro determinamos os limites de integração que correspondem a uma pétala. A pétala corresponde ao trecho em que
entre duas soluções consecutivas de
Tomando
e
, obtemos o intervalo
que é exatamente um “arco” em que a pétala é traçada.
Passo 3
Agora escrevemos o integral da área de uma pétala usando esses limites:
Passo 4
Aplicamos a identidade
com
:
Logo
Passo 5
Calculamos cada parte:
Portanto
Passo 6
Substituindo de volta em
obtemos