(AFA 2015) Seja o quadrado A B C D e o ponto E pertencente ao segmento A B. Sabendose que a área do triângulo A D E, a área do trapézio B C D E e a área do quadrado A B C D formam juntas, nessa ordem, uma Progressão Aritmética (P.A.) e a soma das áreas desses polígonos é igual a 800 cm^2, tem-se que a medida do segmento EB
a) é fração própria.
b) é decimal exato.
c) é decimal não-exato e periódico.
d) pertence ao conjunto A=R+^*-Q+

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrado ABCD de lado s e um ponto E em AB tal que EB=x. Precisamos usar geometria plana (cálculo de áreas) e a propriedade de Progressão Aritmética (P.A.) para as áreas do triângulo ADE, do trapézio BCDE e do próprio quadrado, sabendo que a soma dessas áreas é 800 cm^2.

Passo 2

Vamos expressar cada área em função de s e x. Colocando A=(0,0), B=(s,0), C=(s,s), D=(0,s) e E=(s-x,0), temos:
A área do triângulo ADE:
A1 = tfrac12cdotl|!ADr|cdot(distância de (E) a (AD)) = tfrac12;s;(s - x) â
A área do trapézio BCDE cujo bases são CD (comprimento s) e BE (comprimento x), altura s:
A2 = tfrac12,(s + x),s
A área do quadrado ABCD é
A3 = s^2

Passo 3

Como l(A1,A2,A3r) formam P.A., vale
2A2 = A1 + A3
Substituindo:
2l(tfrac12(s+x)sr) = tfrac12,s,(s-x) + s^2
Isto é
s(s+x) = tfrac12,s(s-x) + s^2 ;Longrightarrow; 2s(s+x) = s(s-x) + 2s^2 ;Longrightarrow; 3s,x = s^2 ;Longrightarrow; x = tfracs3

Passo 4

A soma das áreas é
A1 + A2 + A3 = tfrac12,s(s-x) + tfrac12,s(s+x) + s^2 = s^2 + s^2 = 2s^2,
e sabemos que isso vale 800. Logo
2s^2 = 800 ;Longrightarrow; s^2 = 400 ;Longrightarrow; s = 20 (cm)

Passo 5

Daí EB = x = tfracs3 = tfrac203,cm approx 6,66. Esse valor não é decimal exato, mas sim decimal periódico.

Resposta

c) é decimal não-exato e periódico.

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