Seja T o operador linear do R^2 tal que T(1,0)=(2,1) e T(0,1)=(-1,1). Encontre T(x, y). Calcule T(1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear TcolonR^2toR^2 cujas imagens dos vetores da base canônica são
T(1,0)=(2,1), T(0,1)=(-1,1)
O que precisamos é usar a propriedade de linearidade para obter uma fórmula geral para T(x,y) e então calcular T(1,2).

Passo 2

Como T é linear, qualquer vetor (x,y) pode ser escrito como combinação (x,y)=x(1,0)+y(0,1) e, portanto,
T(x,y)=x,T(1,0)+y,T(0,1)
Substituindo T(1,0) e T(0,1), temos
T(x,y) = x,(2,1) + y,(-1,1) = (2x - y,;x + y)

Passo 3

Para encontrar T(1,2), basta usar a fórmula geral com (x,y)=(1,2):
T(1,2) = (2cdot1 - 2,;1 + 2) = (2 - 2,;3) = (0,3)

Resposta

T(x,y) = (2x - y,;x + y)
T(1,2) = (0,3)

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