(AFA 2023) Considere um tronco de pirâmide obtido de uma pirâmide quadrangular regular. Por esse tronco, passa-se um plano
paralelo às bases gerando um quadrilátero de área
, tal que:
- a razão entre a distância da base menor do tronco ao plano
e distância do plano
à base maior do tronco é igual a
;
- a área da base maior do tronco mede
; e
- a área da base menor do tronco mede
.
A área
do quadrilátero, em
, é igual a
a)
b)
c)
d)
A área
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Temos um tronco de pirâmide quadrangular regular com:
– área da base maior c
,
– área da base menor c
.
Por esse tronco passa um plano paralelo às bases, gerando um quadrilátero de área
.
A distância da base menor ao plano é e a distância do plano à base maior é
, com
– área da base maior
– área da base menor
Por esse tronco passa um plano
A distância da base menor ao plano é
Vamos usar semelhança de pirâmides e de seções transversais para achar
.
Passo 2
Estendemos o tronco até a pirâmide completa de base maior e vértice acima da base menor. Seja
– a altura do tronco (distância entre as bases de áreas
e
),
– a distância da base menor ao vértice.
Pela semelhança linear, as razões de áreas satisfazem
–
–
Pela semelhança linear, as razões de áreas satisfazem
Passo 3
Extraindo raiz e resolvendo para
:
Passo 4
Chame de
a distância do plano
até a base maior. Então a distância até a base menor é
e
Passo 5
A seção no plano
é semelhante à base maior, com razão linear
Como
e
,
Logo a área
é