(AFA 2023) Considere um tronco de pirâmide obtido de uma pirâmide quadrangular regular. Por esse tronco, passa-se um plano alpha paralelo às bases gerando um quadrilátero de área x cm^2, tal que:
  • a razão entre a distância da base menor do tronco ao plano alpha e distância do plano alpha à base maior do tronco é igual a 32;
  • a área da base maior do tronco mede 441 cm^2; e
  • a área da base menor do tronco mede 64 cm^2.
    A área x do quadrilátero, em cm^2, é igual a
    a) 844164
    b) 1266181
    c) 624125
    d) 477216

Passo 1

Temos um tronco de pirâmide quadrangular regular com:
– área da base maior AB=441 c m^2,
– área da base menor Ab=64 c m^2.
Por esse tronco passa um plano alpha paralelo às bases, gerando um quadrilátero de área x.
A distância da base menor ao plano é d1 e a distância do plano à base maior é d2, com
d1d2=32
Vamos usar semelhança de pirâmides e de seções transversais para achar x.

Passo 2

Estendemos o tronco até a pirâmide completa de base maior e vértice acima da base menor. Seja
H a altura do tronco (distância entre as bases de áreas 441 e 64),
K a distância da base menor ao vértice.
Pela semelhança linear, as razões de áreas satisfazem
AbAB = (KH+K)^2 Longrightarrow 64441 = (KH+K)^2

Passo 3

Extraindo raiz e resolvendo para H:
KH+K=821 ;Longrightarrow; 21K=8(H+K) ;Longrightarrow; 21K=8H+8K ;Longrightarrow; 13K=8H ;Longrightarrow; H=138K

Passo 4

Chame de zalpha a distância do plano alpha até a base maior. Então a distância até a base menor é H - zalpha e
H - zalphazalpha=32 Longrightarrow zalpha=25H

Passo 5

A seção no plano alpha é semelhante à base maior, com razão linear
ellalphaellB =(H+K)-zalphaH+K
Como H+K=218K e zalpha=25H=1320K,
(H+K)-zalpha =218K-1320K =7940K,
ellalphaellB =7940K218K =79105
Logo a área x é
x =441cdotl(tfrac79105r)^2 =79^225 =624125

Resposta

624125

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