Sejam as bases
alpha=(1,-1),(0,2) e beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)
de R^2 e R^3, respectivamente. Se F(x, y)=(2 y, x-y, x), determine [F]beta^alpha.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear
Fcolon R^2toR^3, F(x,y)=(2y,;x-y,;x)
e as bases
alpha=v1=(1,-1),;v2=(0,2)subsetR^2, beta=w1=(1,0,-1),;w2=(0,1,2),;w3=(1,2,0)subsetR^3
Para encontrar [F]beta^alpha, aplicamos F em cada vetor de alpha e expressamos o resultado na base beta. As coordenadas obtidas serão as colunas da matriz procurada.

Passo 2

Calculemos
F(v1)=F(1,-1)=(2cdot(-1),,1-(-1),,1)=(-2,,2,,1),
F(v2)=F(0,2)=(2cdot2,,0-2,,0)=(4,,-2,,0)

Passo 3

Para expressar F(v1)=(-2,2,1) na base beta, escrevemos
c1w1+c2w2+c3w3=(-2,2,1),
isto é,
c1(1,0,-1)+c2(0,1,2)+c3(1,2,0)=(-2,2,1)
Isso gera o sistema
c1 + c3 = -2, c2 + 2c3 = 2, -,c1 + 2c2 = 1
Resolvendo, obtemos
c1=-tfrac113, c2=-tfrac43, c3=tfrac53

Passo 4

Para F(v2)=(4,-2,0), buscamos
d1w1+d2w2+d3w3=(4,-2,0),
isto é
d1 + d3 = 4, d2 + 2d3 = -2, -,d1 + 2d2 = 0
Resolvendo, obtemos
d1=tfrac203, d2=tfrac103, d3=-tfrac83

Passo 5

As colunas de [F]beta^alpha são os vetores de coordenadas de F(v1) e F(v2) em beta. Assim
[F]beta^alpha = -tfrac113 & tfrac203[6pt] -tfrac43 & tfrac103[6pt] tfrac53 & -tfrac83 =tfrac13 -11 & 20 -4 & 10 5 & -8 ]

Resposta

[F]beta^alpha = -tfrac113 & tfrac203 -tfrac43 & tfrac103 tfrac53 & -tfrac83

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