(AFA) - Sendo a real, o valor do determinante
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ a & 1+a & 2+a \\\ a^{2} & (1+a)^{2} & (2+a)^{2} \end{array}\right| \text { é: }é
a) 2(\mathbf{X})
b) 3
c) 4
d) 5

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] a & 1+a & 2+a \\[6pt] a^{2} & (1+a)^{2} & (2+a)^{2} \end{pmatrix}
Esse é um caso típico de determinante do tipo Vandermonde, cujo conteúdo envolve o produto das diferenças entre três valores.]

Passo 2

Reconhecemos que em cada coluna temos potências de uma variável
coluna 1: 1,a,a^{2} (corresponde a x_{1}=a)
coluna 2: 1,1+a,(1+a)^{2} (corresponde a x_{2}=1+a)
coluna 3: 1,2+a,(2+a)^{2} (corresponde a x_{3}=2+a)

Passo 3

Para uma matriz de Vandermonde de ordem 3 com parâmetros x_{1},x_{2},x_{3}, vale a fórmula
\det = \prod_{1\le i<j\le3}(x_{j}-x_{i}).

Passo 4

Aqui x_{1}=a, x_{2}=1+a e x_{3}=2+a. Então
x_{2}-x_{1} = (1+a)-a = 1,\quad x_{3}-x_{1} = (2+a)-a = 2,\quad x_{3}-x_{2} = (2+a)-(1+a) = 1.

Passo 5

Multiplicando essas diferenças temos
\det = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2.

Resposta

a) 2

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