Calcular a massa de uma lamina plana quadrada de 3 cm de lado, com densidade de área em um ponto (x, y) dada por \rho(x, y)=x+y.
Obs: \mathrm{M}=\iint_{R} \rho(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina quadrada de lado 3 cm cuja densidade de área num ponto (x,y) é \rho(x,y)=x+y. Como a lâmina ocupa o quadrado
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\;0\le y\le 3\},
a teoria nos diz que a massa é
M = \iint_{R} \rho(x,y)\,dx\,dy.
Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever isso como uma integral iterada e calcular passo a passo.

Passo 2

Escrevendo como integral iterada, tomando primeiro integração em y e depois em x, temos
M = \int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{3} (x+y)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{3}(x+y)\,dy =\int_{0}^{3}x\,dy+\int_{0}^{3}y\,dy =x\bigl[\,y\bigr]_{0}^{3}+\frac{1}{2}\bigl[y^{2}\bigr]_{0}^{3} =3x+\frac{9}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x o resultado anterior:
M = \int_{0}^{3}\Bigl(3x+\frac{9}{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{3}3x\,dx+\int_{0}^{3}\frac{9}{2}\,dx =\frac{3\cdot 3^{2}}{2}+\frac{9}{2}\cdot 3 =\frac{27}{2}+\frac{27}{2} =27.

Resposta

A massa da lâmina é 27.

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