Calcular \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y sendo R a região interna a circunferencia x^{2}+y^{2}=9 e externa a circunferência a x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy
em que R é a região no plano entre a circunferência de raio 2 (externa) e a de raio 3 (interna). O conteúdo aplicado é mudança para coordenadas polares, pois a região e o integrando ficam mais simples nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
então
x^{2}+y^{2} = r^{2},
e o elemento de área é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo o integrando em polares vira r^{2}\times r = r^{3}.

Passo 3

Os limites em r vão de 2 até 3 (pois estamos entre as circunferências r=2 e r=3), e em \theta vão de 0 a 2\pi. Assim
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=2}^{3}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{2}^{3}r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{2}^{3} = \frac{3^{4}-2^{4}}{4} = \frac{81-16}{4} = \frac{65}{4}.

Passo 5

Agora a integral em \theta é simples:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelos resultados,
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy = 2\pi \times \frac{65}{4} = \frac{65\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{65\pi}{2}

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