Calcular
sendo
a região interna a circunferencia
e externa a circunferência a
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
em que
é a região no plano entre a circunferência de raio
(externa) e a de raio
(interna). O conteúdo aplicado é mudança para coordenadas polares, pois a região e o integrando ficam mais simples nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
então
e o elemento de área é
Logo o integrando em polares vira
.
Passo 3
Os limites em
vão de
até
(pois estamos entre as circunferências
e
), e em
vão de
a
. Assim
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
:
Passo 5
Agora a integral em
é simples:
Multiplicando pelos resultados,