Afim de testar sua nova invenção, um cientista maluco juntou enguias elétricas e caranguejos em um tanque de água, sua ideia é de que quando o caranguejo apertar a enguia, ela solte uma descarga elétrica que seria possível carregar baterias automobilísticas. Para isso, ele testou 4 caranguejos com forças \mathrm{X}_{1}(\mathrm{~N}), com enguias de tamanho \mathrm{X}_{2}(\mathrm{~cm}) e obteve um resultado da descarga ( mA )
Dados: \mathrm{Y}=187,45-0,42 \mathrm{X}_{1}-0,16 \mathrm{X}_{2} \quad \mathrm{SQR}=1618,19 \quad \mathrm{SQR}=1094,75
a) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis.
b) Pode-se afirmar, que as variáveis possuem um relacionamento linear ( \mathrm{NC}=0,05 )?
X1 X2 Y
10 99 180,330
10 99 143,629
10 99 164,092
15 64 174,523
15 298 137,104
15 64 174,981
20 99 174,921
20 183 150,907
20 225 136,632
25 129 144,593

Passo 1

O enunciado apresenta uma regressão múltipla com duas variáveis explicativas X_1 e X_2 e resposta Y, cujo modelo estimado é
Y = 187{,}45 \;-\; 0{,}42\,X_{1} \;-\; 0{,}16\,X_{2}
Foram fornecidas as somas de quadrados da regressão ( \mathrm{SSR}=1618{,}19) e dos resíduos ( \mathrm{SSE}=1094{,}75) e há n=10 observações e k=2 regressoras. Pede-se:
a) o coeficiente de correlação múltipla R;
b) teste de significância global do modelo ao nível \alpha=0{,}05.

Passo 2

Calcular a soma total de quadrados ( \mathrm{SST}) e o coeficiente de determinação R^2.
\mathrm{SST} = \mathrm{SSR} + \mathrm{SSE} = 1618{,}19 + 1094{,}75 = 2712{,}94
R^2 = \frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}} = \frac{1618{,}19}{2712{,}94} \approx 0{,}5967

Passo 3

Obter o coeficiente de correlação múltipla R, que é a raiz de R^2:
R = \sqrt{R^2} = \sqrt{0{,}5967} \approx 0{,}7725

Passo 4

Formular o teste F para verificar se há relação linear significativa entre Y e (X_1,X_2).
Hipóteses:
H_0: \beta_1 = \beta_2 = 0 \quad\text{vs.}\quad H_1:\text{ao menos um }\beta_j\neq 0

Passo 5

Calcular as médias dos quadrados:
\mathrm{MSR} = \frac{\mathrm{SSR}}{k} = \frac{1618{,}19}{2} = 809{,}095
\mathrm{MSE} = \frac{\mathrm{SSE}}{n - k - 1} = \frac{1094{,}75}{10 - 2 - 1} = \frac{1094{,}75}{7} \approx 156{,}393
F = \frac{\mathrm{MSR}}{\mathrm{MSE}} = \frac{809{,}095}{156{,}393} \approx 5{,}17

Passo 6

Comparar com o valor crítico da distribuição F_{k,n-k-1}(0{,}05)=F_{2,7}(0{,}05)\approx 4{,}74. Como
F_{\mathrm{calc}}=5{,}17 > 4{,}74
rejeitamos H_0 e concluímos que o modelo é significativo ao nível de 5\%.

Resposta

a) R \approx 0{,}7725.
b) Sim, existe relacionamento linear significativo ( F=5{,}17 > F_{2,7,0{,}05}=4{,}74).

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