Costuma-se dizer que o tempo médio de vida de um atirador de M60 (uma arma individual pesada de infantaria americana) na Guerra do Vietnã era de 7 segundos após efetuar seu primeiro disparo. Considerando a variável aleatória T= "tempo de vida de um atirador de
M60 após efetuar seu primeiro disparo", critique a afirmação acima feita sobre o valor esperado de T. Considere o fato de que um atirador que sobrevivesse exatamente 24 h após seu primeiro disparo teria T=60 \times 60 \times 24=86.400 segundos. Como poderia ter sido realizado o processo de cálculo deste valor médio? Esta estimativa lhe parece realista, ou uma invenção de marketing? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado afirma que, na Guerra do Vietnã, o tempo médio de vida de um atirador de M 60 após o primeiro disparo era de 7 segundos. Temos a variável aleatória T = “tempo de vida após o primeiro disparo” e queremos criticar essa estimativa de \mathbb{E}[T]. Além disso, nota-se que, se um atirador sobrevivesse exatamente 24 h, teríamos
T = 60 \times 60 \times 24 = 86\,400\\ \text{segundos}.
O conteúdo envolvido é teoria de probabilidade (valor esperado) e modelos de sobrevivência, em particular o modelo exponencial de tempo até evento.

Passo 2

Uma forma simples de obter \mathbb{E}[T]=7 s é assumir que T segue uma distribuição exponencial com taxa de risco constante \lambda. Nesse caso vale
\mathbb{E}[T] = \frac{1}{\lambda} = 7\quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1}{7}\\ \text{s}^{-1}.
Sob esse modelo, a probabilidade de sobreviver mais de 24 h é
P(T > 86\,400) = \exp\bigl(-\lambda \times 86\,400\bigr) = \exp\!\bigl(-\tfrac{86\,400}{7}\bigr) \approx \exp(-12\,342) \approx 0.
Isto é, praticamente nenhum atirador chegaria a 24 h, o que já soa absurdo.

Passo 3

Como alguém poderia “calcular” este valor médio de 7 s na prática? Uma via é medir empiricamente o total de segundos vividos pelos atiradores desde o primeiro tiro até serem baleados, somar esses tempos e dividir pelo número total de atiradores que foram atingidos. Alternativamente, num modelo exponencial, estimar a taxa de mortes por segundo de combate \lambda (número de mortes dividido pelo tempo total de exposição) e então tomar \mathbb{E}[T]=1/\lambda.

Passo 4

A estimativa de \mathbb{E}[T]=7 s não me parece realista. Na prática, combates com metralhadora pesada duravam minutos ou horas, havia pausas, cobertura, retirada, etc. Além disso, se algum atirador sobrevivesse muito além de poucos segundos, esse tempo elevaria drasticamente a média, mas o modelo exponencial (com risco constante) tende a desprezar caudas longas reais. Tudo indica ser mais uma frase de marketing ou lenda urbana do que uma estatística de campo devidamente registrada.

Resposta

A afirmação de que \mathbb{E}[T]=7 s foi feita presumivelmente via um modelo exponencial (onde \lambda=1/7) ou dividindo tempo total de combate pelo número de mortos. Contudo, a probabilidade de alguém chegar a 24 h seria praticamente zero nesse modelo, o que contradiz relatos reais de combates. Logo, essa média de 7 s parece mais invenção de marketing do que estatística fidedigna.

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