Para testar um novo componente em uma formula de gasolina, foram testadas 10 diferentes medidas de reagente (ml) para cada 1 L de gasolina, e foram obtidos os seguintes dados em quilômetros rodados.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y 44,5 42,09 40,01 42,88 49,58 51,48 42,17 38,27 41,05 45,88
a) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis.
b) Pode-se afirmar, que as duas variáveis possuem um relacionamento linear ( \mathrm{NC}=0,05 )?
c) Estime o modelo de regressão linear para a quilometragem por reagente.

Passo 1

Neste exercício temos duas variáveis: a medida de reagente em mililitros por litro de gasolina X e a quilometragem rodada Y. Precisamos:
– Calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre X e Y.
– Testar se há relação linear significativa ao nível de significância \alpha=0,05.
– Estimar o modelo de regressão linear \hat Y = a + bX.

Passo 2

Para usar as fórmulas de correlação e regressão precisamos dos seguintes somatórios (com n=10):
\sum X = 55,\quad \sum Y = 437{,}91,\quad \sum X^2 = 385,\quad \sum Y^2 = 19332{,}6581,\quad \sum XY = 2406{,}61.

Passo 3

O coeficiente de correlação de Pearson é
r = \frac{n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)} {\sqrt{\bigl(n\sum X^2 - (\sum X)^2\bigr)\,\bigl(n\sum Y^2 - (\sum Y)^2\bigr)}}.
Substituindo os valores:
r = \frac{10\cdot2406{,}61 - 55\cdot437{,}91} {\sqrt{\bigl(10\cdot385 - 55^2\bigr)\,\bigl(10\cdot19332{,}6581 - 437{,}91^2\bigr)}} \approx -0{,}0167.

Passo 4

Para testar H_0:\rho=0 contra H_1:\rho\neq0 usamos a estatística
t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \approx -0{,}0167\sqrt{\frac{8}{1-0{,}00028}} \approx -0{,}047.
O valor crítico para t_{0{,}025,\,8} é aproximadamente 2{,}306. Como \lvert t\rvert<2{,}306, não rejeitamos H_0: não há evidência de relação linear significativa a 5\%.

Passo 5

O modelo de regressão \hat Y = a + bX tem coeficientes
b = \frac{n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^2 - (\sum X)^2} = \frac{-18{,}95}{825} \approx -0{,}02297,
a = \bar Y - b\,\bar X =43{,}791 -(-0{,}02297)\cdot5{,}5 \approx 43{,}9173.
Logo o modelo ajustado é
\hat Y = 43{,}9173 \;-\;0{,}02297\,X.

Resposta

(a) r\approx -0{,}0167.
(b) Não, pois o teste não rejeita H_0 ao nível \alpha=0{,}05; não há relação linear significativa.
(c) \displaystyle \hat Y = 43{,}9173 \;-\;0{,}02297\,X.

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