Uma empresa comparou 10 de seus funcionários realizando uma determinada atividade. Foi medido o tempo de trabalho, juntamente com informações revelantes ao estudo. Teste a diferença de tempo entre os funcionários, a uma significância de 95 \%, para:
a) Idade
b) Sexo
c) Mão Usada
d) Ferramenta usada
e) Identifique qual fator (idade/gênero/mão usada/ferramenta) explica melhor a variabilidade do tempo de execução da atividade ( \mathrm{R}^{2} )
Indivíduo Tempo (s) Idade (Anos) Gênero (M/F) Mão usada (D/E) Ferramenta usada (P/F)
1 15 20 M Direita Fenda
2 17 20 M Esquerda Philips
3 20 20 F Direita Philips
4 14 20 F Esquerda Fenda
5 17 20 M Esquerda Fenda
6 18 25 F Esquerda Philips
7 24 25 M Direita Fenda
8 23 25 F Esquerda Fenda
9 28 25 M Direita Philips
10 16 25 F Direita Philips

Passo 1

O enunciado pede para, a 95 % de significância, testar se o tempo médio de execução difere entre os níveis de quatro fatores qualitativos (idade, sexo, mão usada e tipo de ferramenta). Como cada fator tem dois níveis, podemos usar uma ANOVA unifatorial (equivalente ao teste t de duas amostras) para cada fator e, em seguida, calcular o coeficiente de determinação \mathrm{R}^2 para ver qual fator explica melhor a variabilidade do tempo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a média global e a soma total de quadrados:
\overline{y} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} y_i = \frac{192}{10} = 19{,}2
\mathrm{SST} = \sum_{i=1}^{10}(y_i - \overline{y})^2 = 181{,}6
A significância no nível de 5 % para F_{1,8} tem valor crítico F_{0,05;1,8}\approx5{,}32.

Passo 3

Idade ( 20 vs. 25 anos):
média em 20 anos:
\overline{y}_{20} = \frac{15+17+20+14+17}{5} = 16{,}6,
média em 25 anos:
\overline{y}_{25} = \frac{18+24+23+28+16}{5} = 21{,}8.
Soma de quadrados entre grupos:
\mathrm{SSA}_{\mathrm{idade}} =5(16{,}6-19{,}2)^2 +5(21{,}8-19{,}2)^2 =67{,}6.
Soma de quadrados de erro:
\mathrm{SSE} = 181{,}6 - 67{,}6 =114,
\mathrm{MSA} = \frac{67{,}6}{1} =67{,}6, \quad \mathrm{MSE} = \frac{114}{8} =14{,}25,
F = \frac{67{,}6}{14{,}25} \approx 4{,}75 < 5{,}32 \quad\Rightarrow\quad\text{não rejeita }H_0.ã
R^2_{\mathrm{idade}} = \frac{67{,}6}{181{,}6} \approx 0{,}372.

Passo 4

Sexo (M vs. F):
\overline{y}_{M}=20{,}2,\;\overline{y}_{F}=18{,}2.
\mathrm{SSA}_{\mathrm{sexo}} =5(20{,}2-19{,}2)^2 +5(18{,}2-19{,}2)^2 =10,
\mathrm{SSE} = 181{,}6 - 10 =171{,}6, \quad \mathrm{MSA}=10, \quad \mathrm{MSE}=21{,}45, \quad F\approx0{,}47<5{,}32,
não rejeita H_0.
R^2_{\mathrm{sexo}} = \frac{10}{181{,}6} \approx 0{,}055.

Passo 5

Mão usada (D vs. E):
\overline{y}_{D}=20{,}6,\;\overline{y}_{E}=17{,}8.
\mathrm{SSA}_{\mathrm{mão}} =5(20{,}6-19{,}2)^2 +5(17{,}8-19{,}2)^2 =19{,}6,ã
\mathrm{SSE} = 181{,}6 - 19{,}6 =162, \quad \mathrm{MSA}=19{,}6, \quad \mathrm{MSE}=20{,}25, \quad F\approx0{,}97<5{,}32,
não rejeita H_0.
R^2_{\mathrm{mão}} = \frac{19{,}6}{181{,}6} \approx 0{,}108.ã

Passo 6

Ferramenta (Philips vs. Fenda):
\overline{y}_{P}=19{,}8,\;\overline{y}_{F}=18{,}6.
\mathrm{SSA}_{\mathrm{ferr}} =5(19{,}8-19{,}2)^2 +5(18{,}6-19{,}2)^2 =3{,}6,
\mathrm{SSE} = 181{,}6 - 3{,}6 =178, \quad \mathrm{MSA}=3{,}6, \quad \mathrm{MSE}=22{,}25, \quad F\approx0{,}16<5{,}32,
não rejeita H_0.
R^2_{\mathrm{ferr}} = \frac{3{,}6}{181{,}6} \approx 0{,}020.

Passo 7

Comparando os \mathrm{R}^2 de cada fator:
R^2_{\mathrm{idade}} \approx0{,}372,\; R^2_{\mathrm{mão}} \approx0{,}108,\; R^2_{\mathrm{sexo}} \approx0{,}055,\; R^2_{\mathrm{ferr}} \approx0{,}020.ã
O fator idade é o que explica maior parte da variabilidade do tempo.

Resposta

a) Idade: F(1,8)=4{,}75<5{,}32, não há diferença significativa.
b) Sexo: F(1,8)=0{,}47<5{,}32, não há diferença significativa.
c) Mão usada: F(1,8)=0{,}97<5{,}32, não há diferença significativa.
d) Ferramenta usada: F(1,8)=0{,}16<5{,}32, não há diferença significativa.
e) O fator idade teve o maior \mathrm{R}^2\approx0{,}372, portanto é o que melhor explica a variabilidade do tempo.

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