Um afinador de piano estica a corda de aço de um piano com urna tensão de 660 N. O comprimento da corda é 42,0 cm e sua massa é 3,00 g.
Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até 22 KHz ?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma corda de aço de piano com uma tensão de 660 N, comprimento de 42,0 cm e massa de 3,00 g. Queremos descobrir qual é o maior harmônico que uma pessoa pode ouvir, considerando que o ouvido humano percebe até 22 KHz (22.000 Hz). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, frequência dos harmônicos e a velocidade de propagação da onda na corda.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a densidade linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A fórmula para a densidade linear ($ \mu $) é:
mu
onde:
  • $ m $ é a massa da corda,
  • $ L $ é o comprimento da corda.

Passo 3

Vamos calcular $ \mu $:
mu

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade da onda na corda usando a fórmula:
v = raizTmu
onde:
  • $ T $ é a tensão na corda,
  • $ \mu $ é a densidade linear que calculamos.
Substituindo os valores:
T

Passo 5

A frequência dos harmônicos em uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
fn = n times v2L
onde:
  • $ f_n $ é a frequência do $ n $-ésimo harmônico,
  • $ n $ é a ordem do harmônico (1, 2, 3, …),
  • $ v $ é a velocidade da onda,
  • $ L $ é o comprimento da corda.

Passo 6

Queremos encontrar o maior valor de $ n $ tal que $ f_n \leq 22.000 , Hz $. Então:
n
Resolvendo para $ n $:
fn <= 22.000 , Hz

Passo 7

Substituindo os valores que já temos:
n <= 2 times 0,420 , m times 22.000 , Hz303,8 , m/s
Calculando:
n <= 18.480303,8 approx 60,8

Passo 8

Como $ n $ deve ser um número inteiro positivo, o maior valor possível de $ n $ que satisfaz a condição é 60.

Resposta

O maior harmônico que pode ser ouvido é o 60º harmônico ($ n = 60 $).

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