Um afinador de piano estica a corda de aço de um piano com urna tensão de
N. O comprimento da corda é
cm e sua massa é
g.
Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até 22 KHz ?
Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até 22 KHz ?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma corda de aço de piano com uma tensão de 660 N, comprimento de 42,0 cm e massa de 3,00 g. Queremos descobrir qual é o maior harmônico que uma pessoa pode ouvir, considerando que o ouvido humano percebe até 22 KHz (22.000 Hz). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, frequência dos harmônicos e a velocidade de propagação da onda na corda.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a densidade linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A fórmula para a densidade linear ($ \mu $) é:
onde:
- $ m $ é a massa da corda,
- $ L $ é o comprimento da corda.
Passo 3
Vamos calcular $ \mu $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade da onda na corda usando a fórmula:
onde:
- $ T $ é a tensão na corda,
- $ \mu $ é a densidade linear que calculamos.
Substituindo os valores:
Passo 5
A frequência dos harmônicos em uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
onde:
- $ f_n $ é a frequência do $ n $-ésimo harmônico,
- $ n $ é a ordem do harmônico (1, 2, 3, …),
- $ v $ é a velocidade da onda,
- $ L $ é o comprimento da corda.
Passo 6
Queremos encontrar o maior valor de $ n $ tal que $ f_n \leq 22.000 , Hz $. Então:
Resolvendo para $ n $:
Passo 7
Substituindo os valores que já temos:
Calculando:
Passo 8
Como $ n $ deve ser um número inteiro positivo, o maior valor possível de $ n $ que satisfaz a condição é 60.
Resposta
O maior harmônico que pode ser ouvido é o 60º harmônico ($ n = 60 $).