A afirmação "
lim x p^+ f(x)=lim x p^- f(x)
Rightarrow f contínua em p " é falsa ou verdadeira? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a condição
limxto p^+f(x)=limxto p^-f(x)
implica que f é contínua em p. O conteúdo envolve os conceitos de limites laterais e de continuidade de uma função.

Passo 2

Se
limxto p^+f(x)=limxto p^-f(x)=L,
então dizemos que o limite
limxto pf(x)
existe e vale L.

Passo 3

Porém, para f ser contínua em p é preciso também que
limxto pf(x)=f(p)
Assim, além da existência do limite, precisamos que o valor de f em p coincida com esse limite.

Passo 4

Um contraexemplo simples é
f(x)= 0, & xneq0, 1, & x=0
Aqui, ao tomarmos p=0, temos
limxto0^-f(x)=0 e limxto0^+f(x)=0,
logo limxto0f(x)=0, mas f(0)=1neq0. Portanto f não é contínua em 0 apesar de as duas limitações laterais coincidirem.

Resposta

A afirmação é falsa.

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