Para cada uma das seguintes funções encontre
lim x 2 f(x)-f(2)x-2.
f(x)=23 x^2, x neq 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite da expressão f(x)-f(2)x-2 quando x se aproxima de 2. A função dada é f(x) = 23x^2 para x neq 0. Esse tipo de limite é importante para entender como a função se comporta perto de um ponto específico.

Passo 2

Vamos começar calculando f(2). Substituindo x por 2 na função:
f(2) = 23 times 2^2 = 23 times 4 = 212 = 16

Passo 3

Agora, substituímos f(x) e f(2) na expressão do limite:
f(x) - f(2)x - 2 = 23x^2 - 16x - 2

Passo 4

Para simplificar a expressão, precisamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador. O menor denominador comum entre 3x^2 e 6 é 6x^2. Assim:
23x^2 = 46x^2 e 16 = x^26x^2
Substituindo na expressão:
46x^2 - x^26x^2x - 2 = 4 - x^26x^2(x - 2)

Passo 5

Agora, fatoramos o numerador 4 - x^2. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)
Então, a expressão fica:
(2 - x)(2 + x)6x^2(x - 2)

Passo 6

Perceba que (2 - x) é o mesmo que -(x - 2). Então:
-(x - 2)(2 + x)6x^2(x - 2) = -(2 + x)6x^2
Cancelamos (x - 2) no numerador e denominador.

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo x por 2:
-(2 + 2)6 times 2^2 = -46 times 4 = -424 = -16

Resposta

O limite é boxed-dfrac16.

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