Problema 3.15. Sejam a e b dois números com um divisor comum d. Mostre que d divide a times n+b times m, quaisquer que sejam os números inteiros n e m.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois inteiros a e b e um divisor comum d, ou seja, d divide a e também divide b. O objetivo é mostrar que, para quaisquer inteiros n e m, o número a,n + b,m também é divisível por d. O que vamos usar é a definição de divisibilidade: dizer que d divide um inteiro x significa que existe um inteiro k tal que x = d,k.

Passo 2

Como d divide a, existe um inteiro a' tal que
a = d,a'
Da mesma forma, como d divide b, existe um inteiro b' tal que
b = d,b'

Passo 3

Agora formamos a combinação linear pedida:
a,n + b,m = (d,a'),n + (d,b'),m

Passo 4

Usando a distributividade, fatoramos d:
a,n + b,m = d,(a',n) + d,(b',m) = d,(a',n + b',m)
Como a',n + b',m é um inteiro (produto e soma de inteiros), segue que a,n + b,m é múltiplo de d.

Resposta

Portanto, d divide a,n + b,m para quaisquer inteiros n e m.

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