Problema 3.15. Sejam
e
dois números com um divisor comum
. Mostre que
divide
, quaisquer que sejam os números inteiros
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois inteiros
e
e um divisor comum
, ou seja,
divide
e também divide
. O objetivo é mostrar que, para quaisquer inteiros
e
, o número
também é divisível por
. O que vamos usar é a definição de divisibilidade: dizer que
divide um inteiro
significa que existe um inteiro
tal que
.
Passo 2
Como
divide
, existe um inteiro
tal que
Da mesma forma, como
divide
, existe um inteiro
tal que
Passo 3
Agora formamos a combinação linear pedida:
Passo 4
Usando a distributividade, fatoramos
:
Como
é um inteiro (produto e soma de inteiros), segue que
é múltiplo de
.
Resposta
Portanto,
divide
para quaisquer inteiros
e
.