Sejam
e
matrizes quadradas de mesmo tamanho.
(a) Dê um exemplo em que
.
(b) Preencha a lacuna para criar uma identidade que é válida para quaisquer
e
.
(a) Dê um exemplo em que
(b) Preencha a lacuna para criar uma identidade que é válida para quaisquer
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre matrizes quadradas
e
de mesma ordem:
- (a) dar um exemplo em que
, mostrando que em geral não vale a “fatoração” como em escalares; - (b) encontrar a forma correta de
válida para quaisquer e .
O conteúdo aqui é a não comutatividade da multiplicação de matrizes e o uso da distributividade.
Passo 2
Vamos escolher um exemplo simples em
. Defina
Então
Calculando
Por outro lado,
logo
Como
,
vemos que .]
vemos que
Passo 3
Para encontrar a forma correta, expandimos usando a distributividade, sem assumir comutatividade:
Agrupando
e as “faltas” de comutatividade
, obtemos
Resposta
(a) Por exemplo, com
verifica-se que
.
(b)
(b)