Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho.
(a) Dê um exemplo em que (A+B)(B-A) \neq A^{2}-B^{2}.
(b) Preencha a lacuna para criar uma identidade que é válida para quaisquer A e B .(A+B)(B-A)= \qquad .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre matrizes quadradas A e B de mesma ordem:
  • (a) dar um exemplo em que (A+B)(B-A)\neq A^2-B^2, mostrando que em geral não vale a “fatoração” como em escalares;
  • (b) encontrar a forma correta de (A+B)(B-A)=\dots válida para quaisquer A e B.
    O conteúdo aqui é a não comutatividade da multiplicação de matrizes e o uso da distributividade.

Passo 2

Vamos escolher um exemplo simples em 2\times2. Defina
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Então
A+B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B - A = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Calculando
(A+B)(B-A) =\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Por outro lado,
A^2 = A,\quad B^2 = 0,
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A^2 - B^2 = A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Como \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0&0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
vemos que (A+B)(B-A)\neq A^2 - B^2.]

Passo 3

Para encontrar a forma correta, expandimos usando a distributividade, sem assumir comutatividade:
(A+B)(B-A) = A\,B \;-\; A^2 \;+\; B^2 \;-\; B\,A.
Agrupando -A^2+B^2 e as “faltas” de comutatividade A\,B - B\,A, obtemos
(A+B)(B-A) = B^2 - A^2 \;+\;(A\,B - B\,A).

Resposta

(a) Por exemplo, com
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
verifica-se que (A+B)(B-A)\neq A^2-B^2.
(b)
(A+B)(B-A)=B^2 - A^2 + A\,B - B\,A.

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