Afirmação: “Todo campo vetorial quadrado inverso é conservativo.”
Como exercício, mostre a afirmação acima, considerando
um campo vetorial quadrado inverso no
.
Como exercício, mostre a afirmação acima, considerando
Passo 1
Enunciado claro e dados fornecidos: você pede para mostrar a afirmação “Todo campo vetorial quadrado inverso é conservativo”, considerando
um campo vetorial quadrado inverso no
. Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado e que vou usar):
- Há uma constante real
(que pode ser positiva ou negativa) que escala o campo. - Denotarei por
a função . Note que exceto no ponto . - O campo “quadrado inverso” aqui é o campo radial cuja intensidade decai como
; em coordenadas cartesianas isso corresponde à forma
- O objetivo pedido é mostrar que esse
é conservativo, ou seja, que existe uma função escalar potencial tal que , e discutir o domínio onde isso vale.
Passo 2
O que significa “conservativo” (explicação didática): um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
chamada potencial, tal que
Quando
existe, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho (só depende dos pontos finais). Para mostrar que um campo é conservativo podemos tentar (i) encontrar explicitamente
resolvendo as igualdades acima, ou (ii) mostrar que o rotacional (no plano, a diferença
) é zero num domínio adequado. Aqui vamos construir explicitamente a potencial porque é a maneira mais direta e elucidativa.
Passo 3
Escrever o campo de forma radial e justificar a expressão escolhida: a unidade radial é
. Um campo cuja intensidade é
na direção radial tem a forma
Reescrevendo em função de
e
:
Observação importante: essa expressão só faz sentido quando
, então o campo está naturalmente definido em
.
Passo 4
Chute natural para a potencial e por que ele é natural: experiência com derivadas mostra que a função
tem derivadas que produzem fatores do tipo
e
. Portanto uma boa tentativa de potencial é uma constante multiplicada por
. Vou definir a função candidata
e verificar que
. Aqui
é a mesma constante que aparece em
.
Passo 5
Verificação direta usando regra da cadeia (cálculo passo a passo): calculamos as derivadas parciais de
. Lembre que
e que
pois
e aplicamos a regra da cadeia. Agora,
Usando a regra da cadeia para
:
Simplificando os potências de
:
De modo análogo para
:
Portanto
Isto mostra, elemento a elemento, que
sempre que
.
Passo 6
Conclusão e observações sobre o domínio: como encontrámos explicitamente
com
, o campo
é conservativo no domínio onde
está bem definida, isto é, em
Nota sobre o ponto
: o campo tem singularidade em
(denominador zero) e nem
nem
estão definidos ali; portanto não se pode afirmar conservatividade em todo o
incluindo a origem. Se alguém definisse o campo artificialmente no ponto
por outro valor, isso criaria uma descontinuidade e em geral impediria a existência de uma potencial contínua em todo
.
Resposta
Sim: o campo
é conservativo em
com potencial