Afirmação: “Todo campo vetorial quadrado inverso é conservativo.”
Como exercício, mostre a afirmação acima, considerando \vec{F} um campo vetorial quadrado inverso no \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos: você pede para mostrar a afirmação “Todo campo vetorial quadrado inverso é conservativo”, considerando \vec{F} um campo vetorial quadrado inverso no \mathbb{R}^{2}. Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado e que vou usar):
  • Há uma constante real k (que pode ser positiva ou negativa) que escala o campo.
  • Denotarei por r a função r(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Note que r>0 exceto no ponto (0,0).
  • O campo “quadrado inverso” aqui é o campo radial cuja intensidade decai como 1/r^{2}; em coordenadas cartesianas isso corresponde à forma
\vec{F}(x,y)=k\,\frac{(x,y)}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
  • O objetivo pedido é mostrar que esse \vec{F} é conservativo, ou seja, que existe uma função escalar potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, e discutir o domínio onde isso vale.

Passo 2

O que significa “conservativo” (explicação didática): um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) chamada potencial, tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q.
Quando \varphi existe, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho (só depende dos pontos finais). Para mostrar que um campo é conservativo podemos tentar (i) encontrar explicitamente \varphi resolvendo as igualdades acima, ou (ii) mostrar que o rotacional (no plano, a diferença \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y) é zero num domínio adequado. Aqui vamos construir explicitamente a potencial porque é a maneira mais direta e elucidativa.

Passo 3

Escrever o campo de forma radial e justificar a expressão escolhida: a unidade radial é \hat{r}=(x,y)/r. Um campo cuja intensidade é k/r^{2} na direção radial tem a forma
\vec{F} = \frac{k}{r^{2}}\hat{r} = \frac{k}{r^{2}}\cdot\frac{(x,y)}{r} = k\frac{(x,y)}{r^{3}}.
Reescrevendo em função de x e y:
\vec{F}(x,y)=\left(P(x,y),Q(x,y)\right)=\left(k\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\;k\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\right).
Observação importante: essa expressão só faz sentido quando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\neq 0, então o campo está naturalmente definido em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 4

Chute natural para a potencial e por que ele é natural: experiência com derivadas mostra que a função r^{-1}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} tem derivadas que produzem fatores do tipo -x/r^{3} e -y/r^{3}. Portanto uma boa tentativa de potencial é uma constante multiplicada por r^{-1}. Vou definir a função candidata
\varphi(x,y) = -\frac{k}{r} = -\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e verificar que \nabla\varphi=\vec{F}. Aqui k é a mesma constante que aparece em \vec{F}.

Passo 5

Verificação direta usando regra da cadeia (cálculo passo a passo): calculamos as derivadas parciais de \varphi. Lembre que r=r(x,y) e que
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},
pois r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2} e aplicamos a regra da cadeia. Agora,
\varphi(x,y)=-k\,r^{-1}.
Usando a regra da cadeia para \partial\varphi/\partial x:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -k\cdot\frac{d}{dx}\big(r^{-1}\big) = -k\cdot(-1)r^{-2}\cdot\frac{\partial r}{\partial x} = k\,r^{-2}\cdot\frac{x}{r}.
Simplificando os potências de r:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = k\,\frac{x}{r^{3}} = k\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
De modo análogo para \partial\varphi/\partial y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = k\,r^{-2}\cdot\frac{y}{r} = k\frac{y}{r^{3}} = k\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Portanto
\nabla\varphi(x,y)=\left(k\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\;k\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\right)=\vec{F}(x,y).
Isto mostra, elemento a elemento, que \nabla\varphi=\vec{F} sempre que r>0.

Passo 6

Conclusão e observações sobre o domínio: como encontrámos explicitamente \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}, o campo \vec{F} é conservativo no domínio onde \varphi está bem definida, isto é, em
\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Nota sobre o ponto (0,0): o campo tem singularidade em (0,0) (denominador zero) e nem \vec{F} nem \varphi estão definidos ali; portanto não se pode afirmar conservatividade em todo o \mathbb{R}^{2} incluindo a origem. Se alguém definisse o campo artificialmente no ponto (0,0) por outro valor, isso criaria uma descontinuidade e em geral impediria a existência de uma potencial contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Sim: o campo \displaystyle \vec{F}(x,y)=k\frac{(x,y)}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} é conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} com potencial
\varphi(x,y)=-\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

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