Represente graficamente os seguintes campos vetoriais. \vec{f}(x, y)=(x^{2}+y^{2}) \vec{i}+2 x y \vec{j}
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
\vec{f}(x,y)=(x^{2}+y^{2})\,\vec{i}+2xy\,\vec{j}
e pede para representá-lo graficamente. Informações relevantes que temos:
expressão de cada componente: a componente em x é f_x(x,y)=x^{2}+y^{2} e a componente em y é f_y(x,y)=2xy;
o campo está definido para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2;
precisamos desenhar setas (vetores) em pontos do plano que mostram direção e sentido do campo.
Passo 2
Como desenhar um vetor num ponto: para cada ponto (x,y) calculamos \vec{f}(x,y)=(f_x,f_y). A seta colocada no ponto (x,y) pode ser desenhada com ponta em (x+f_x,y+f_y) (ou, para visualização, com um fator de escala). Exemplo genérico: em (x,y) a seta tem direção e sentido dados por (f_x,f_y). Vamos aprender a interpretar essas componentes antes de calcular muitos pontos.
Passo 3
Análise dos sinais das componentes (isso ajuda a saber para onde as setas apontam em cada região):
f_x(x,y)=x^{2}+y^{2}. Como soma de quadrados, temos f_x\ge 0 e f_x=0 somente em (0,0). Conclusão importante: em todo o plano (fora da origem) a componente horizontal é positiva — as setas sempre têm uma componente para a direita.
f_y(x,y)=2xy. O sinal de f_y depende de xy:
Em quadrante I (x>0,y>0) e III (x<0,y<0): xy>0\Rightarrow f_y>0 → setas têm componente vertical para cima.
Em quadrantes II (x<0,y>0) e IV (x>0,y<0): xy<0\Rightarrow f_y<0 → setas têm componente vertical para baixo.
Resumo intuitivo: as setas sempre apontam para a direita, inclinando-se para cima nos QI e QIII e para baixo nos QII e QIV.
Passo 4
Expressão em coordenadas polares e consequência elegante (isso explica porque todas as setas ao longo de um mesmo raio têm a mesma direção):
Portanto a direção (ângulo relativo ao eixo x) depende apenas de \theta, não de r: todas as setas sobre o mesmo raio saindo da origem têm a mesma direção, só mudam de comprimento com r.
Passo 5
Magnitude do vetor (ajuda a decidir escala no desenho):
Interpretação prática: o comprimento cresce como r^{2} quando nos afastamos da origem (muito pequeno perto de 0, muito grande longe). O fator \sqrt{1+\sin^{2}2\theta} varia entre 1 e \sqrt{2}, então a variação angular da magnitude é moderada; o crescimento dominante é r^{2}.
Passo 6
Cálculo de vetores em pontos simples (isso é o que você desenha no rascunho, ponto por ponto). Vou calcular \vec{f}(x,y) em uma grade pequena para você copiar no papel:
em (0,0): \vec{f}(0,0)=(0,0) (origem é ponto crítico).
em (1,0): \vec{f}(1,0)=(1,0).
em (0,1): \vec{f}(0,1)=(1,0) — repare, no eixo y também a seta aponta para a direita.
em (-1,0): \vec{f}(-1,0)=(1,0).
em (0,-1): \vec{f}(0,-1)=(1,0).
em (1,1): \vec{f}(1,1)=(2,2) — seta para a direita e para cima, 45°.
em (1,-1): \vec{f}(1,-1)=(2,-2) — direita e para baixo, 45°.
em (-1,1): \vec{f}(-1,1)=(2,-2).
em (-1,-1): \vec{f}(-1,-1)=(2,2).
em (2,0): \vec{f}(2,0)=(4,0).
em (0,2): \vec{f}(0,2)=(4,0).
Use esses vetores como “setas base” no seu rascunho: desenhe a seta com origem no ponto e ponta deslocada por esse vetor (ou por uma versão escalada para caber no quadrado do papel).
Passo 7
Como desenhar no papel (passo-a-passo prático):
Trace uma grade de pontos (x,y) (por exemplo com x,y\in\{-2,-1,0,1,2\}).
Para cada ponto calcule \vec{f}(x,y) usando as fórmulas do Passo 6.
Desenhe uma seta com base em (x,y) e cabeça em (x+ \lambda f_x,\; y+\lambda f_y), onde \lambda é um fator de escala escolhido para que as setas não fiquem enormes (por exemplo \lambda=0,3 ou normalize para comprimentos comparáveis). Se preferir, desenhe apenas a direção (um segmento unitário na direção dada por (f_x,f_y)).
Observe que, quanto maior r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, maior a seta (proporcional a r^{2}) — escolha \lambda para compensar isso se quiser uma visualização mais uniforme.
Passo 8
Características geométricas que aparecem no gráfico (o que o desenho deve mostrar):
Setas sempre têm componente direita positiva (para a direita), exceto na origem.
No eixo x e no eixo y as setas são horizontais para a direita (porque f_y=0 nesses eixos).
Sobre a reta y=x (ângulo \theta=\pi/4) a inclinação \sin 2\theta=1, então as setas formam 45^\circ para cima à direita.
Sobre a reta y=-x (ângulo \theta=-\pi/4 ou 3\pi/4) a inclinação é -1, setas em 45^\circ para baixo à direita.
Para um mesmo ângulo \theta (mesmo raio) as setas são paralelas; distância à origem apenas alonga ou encolhe a seta.
Passo 9
Curvas integrais (opcional, se quiser desenhar as linhas de corrente/trajetórias):
A equação das curvas integrais satisfaz
Isso dá a família de curvas que são tangentes ao campo em cada ponto (útil se quiser desenhar as trajetórias além das setas).
Passo 10
Rascunho mental final e incentivo: no papel faça a grade, calcule alguns vetores como em Passo 6, desenhe setas com escala e observe o padrão — todas apontando para a direita com inclinações variando conforme \sin 2\theta. Vai dar certo: comece por poucos pontos (origem, eixos, \pm(1,1), \pm(2,0)) e depois complete o restante. Você consegue!
Resposta
As setas do campo em (x,y) são \vec{f}(x,y)=(x^{2}+y^{2},\,2xy). Direção (inclinação) dada por \displaystyle \frac{f_y}{f_x}=\sin 2\theta (depende só de \theta), magnitude |\vec{f}|=r^{2}\sqrt{1+\sin^{2}2\theta} (cresce como r^{2}). Exemplos para desenhar: (0,0)\mapsto(0,0); (1,0)\mapsto(1,0); (0,1)\mapsto(1,0); (1,1)\mapsto(2,2); (1,-1)\mapsto(2,-2); (-1,1)\mapsto(2,-2); (-1,-1)\mapsto(2,2).