Represente graficamente os seguintes campos vetoriais.
\vec{g}(x, y)=(x-y) \vec{i}+(x+y) \vec{j}

Passo 1

O que o enunciado pede: representar graficamente o campo vetorial \vec{g}(x,y)=(x-y)\,\vec{i}+(x+y)\,\vec{j}.
Informações dadas (tudo o que usaremos): a expressão analítica do campo, ou seja, para cada ponto (x,y) o vetor é \big(x-y,\;x+y\big). Não há figura fornecida — a tarefa é construir a figura a partir da fórmula.

Passo 2

Como eu ploto um campo vetorial na prática? Método básico (passo a passo): para uma grade de pontos (x,y) eu calculo o vetor \vec{g}(x,y), desenho uma seta com direção e sentido desse vetor colocada em (x,y). Para visualização eu posso escalar/normalizar os vetores para que não fiquem muito longos. Exemplo de cálculo em pontos para você começar a desenhar (cada linha indica o ponto e o vetor resultante):
\begin{aligned} \vec{g}(1,0)&=(1-0,\;1+0)=(1,1),\\\ \vec{g}(0,1)&=(0-1,\;0+1)=(-1,1),\\\ \vec{g}(1,1)&=(1-1,\;1+1)=(0,2),\\\ \vec{g}(-1,1)&=(-1-1,\;-1+1)=(-2,0),\\\ \vec{g}(1,-1)&=(1-(-1),\;1+(-1))=(2,0),\\\ \vec{g}(-1,-1)&=(-1-(-1),\;-1+(-1))=(0,-2). \end{aligned}
Desenhe essas setas na sua grade: por exemplo em (1,0) uma seta apontando na direção (1,1) (diagonal nordeste), em (0,1) uma seta apontando para noroeste, etc. Isso já revela um padrão: as setas giram e aumentam de tamanho com a distância ao origem.

Passo 3

Interpretação linear e matriz: o campo é linear em (x,y). Posso escrever
\vec{g}(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Isto significa que em cada ponto o vetor é obtido aplicando a transformação linear A ao vetor posição \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Para esboçar: a transformação A combina rotação e alongamento, então o campo terá setas que giram e crescem com a distância.]

Passo 4

Cálculo da divergência e do rotor (em 2D, rotor escalar) para entender comportamento local:
\operatorname{div}\vec{g}=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)+\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1+1=2.
\operatorname{rot}\vec{g}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)-\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=1-(-1)=2.
Interpretação física simples: divergência positiva ( 2) indica que, em média, os vetores tendem a “afastar” do ponto (expansão). Rotor positivo ( 2) indica rotação no sentido anti-horário. Juntando os dois: o campo é localmente um giro anti-horário combinado com expansão — ou seja, espirais que saem do centro.

Passo 5

Análise dos autovalores para caracterizar globalmente: a equação característica de A é
\lambda^{2}-\operatorname{tr}(A)\,\lambda+\det(A)=0,
com \operatorname{tr}(A)=1+1=2 e \det(A)=1\cdot1-(-1)\cdot1=2. Logo
\lambda^{2}-2\lambda+2=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=1\pm i.
Os autovalores complexos com parte real positiva ( \Re(\lambda)=1>0) significam que as trajetórias lineares associadas à dinâmica \dot{\mathbf{x}}=\vec{g}(\mathbf{x}) são espirais que se afastam do origem enquanto giram — isto confirma a conclusão da divergência/rotor: origem é uma fonte-espiral (instável) no sentido anti-horário.

Passo 6

Resolver as linhas de fluxo (trajectórias) para ver as curvas que os vetores tangenciam. Considere o sistema ordinário
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x-y\\[4pt]x+y\end{pmatrix}.
Uma maneira elegante é passar para a variável complexa z=x+iy. Então
\frac{dz}{dt}=(x-y)+i(x+y)=(1+i)(x+iy)=(1+i)z.
Isso dá solução explícita
z(t)=z(0)e^{(1+i)t}=z(0)\,e^{t}\,e^{it}.
Das fórmulas r(t)=|z(t)|=|z(0)|e^{t} e \theta(t)=\arg z(t)=\arg z(0)+t segue que as trajetórias no plano são espirais logarítmicas que saem do centro com sentido anti-horário. Em coordenadas polares a relação entre r e \theta na mesma curva é
r=C\,e^{\theta}
(para alguma constante C que depende da curva/condição inicial), mostrando explicitamente o formato de espiral.]

Passo 7

Observações úteis para desenhar com qualidade (dicas práticas para a sua prova ou rascunho):
  • Ponto crítico: (0,0) é o único ponto onde \vec{g}=\vec{0}.
  • Eixos e linhas notáveis (use ao desenhar setas maiores para clareza): \begin{aligned} \text{linha }y=x:&\quad \vec{g}(x,x)=(0,2x)\\ \Rightarrow\\ \text{setas verticais (para cima se }x>0).\\\ \text{linha }y=-x:&\quad \vec{g}(x,-x)=(2x,0)\\ \Rightarrow\\ \text{setas horizontais (para a direita se }x>0). \end{aligned}Essas linhas são bons “marcadores” na sua figura: ao desenhar verá setas verticais sobre y=x e horizontais sobre y=-x.
  • Escolha uma grade, por exemplo pontos (i,j) com i,j\in\{-2,-1,0,1,2\}. Calcule \vec{g} em cada ponto (como eu comecei no Passo 2) e desenhe as setas. Se desenhos ficaram com setas muito longas, normaliza comprimentos dividindo todos por uma constante (por exemplo o maior comprimento) — mas mantenha a direção.
  • Desenhe também algumas curvas integrais (trajetórias): a partir de alguns pontos iniciais desenhe a espiral que cresce e gira anti-horário (use a forma paramétrica x(t)+iy(t)=z(0)e^{t}e^{it}, variando t de valores negativos para positivos para ver entrada e saída).

Passo 8

Resumo visual que você deve obter ao terminar o esboço:
  • No entorno do origem as setas são pequenas e quase circulares; afastando-se, as setas ficam maiores (expansão).
  • As setas giram no sentido anti-horário (rotacional positivo) e apontam para fora conforme aumentamos a distância (componente radial crescente).
  • As linhas de campo (trajetórias) são espirais logarítmicas que partem do centro no sentido anti-horário.

Resposta

Campo linear cuja matriz é \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}; origem (0,0) é único ponto crítico e é uma fonte-espiral instável. As trajetórias são dadas por z(t)=z(0)e^{(1+i)t}, logo r(t)=r_0e^{t}, \theta(t)=\theta_0+t, ou em forma polar r=C\,e^{\theta} (espiral logarítmica). Exemplos de vetores para desenhar: \vec{g}(1,0)=(1,1), \vec{g}(0,1)=(-1,1), \vec{g}(1,1)=(0,2), \vec{g}(-1,1)=(-2,0), \vec{g}(1,-1)=(2,0).]

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