Represente graficamente os seguintes campos vetoriais.
Passo 1
O que o enunciado pede: representar graficamente o campo vetorial
.
Informações dadas (tudo o que usaremos): a expressão analítica do campo, ou seja, para cada ponto o vetor é
. Não há figura fornecida — a tarefa é construir a figura a partir da fórmula.
Informações dadas (tudo o que usaremos): a expressão analítica do campo, ou seja, para cada ponto
Passo 2
Como eu ploto um campo vetorial na prática? Método básico (passo a passo): para uma grade de pontos
eu calculo o vetor
, desenho uma seta com direção e sentido desse vetor colocada em
. Para visualização eu posso escalar/normalizar os vetores para que não fiquem muito longos. Exemplo de cálculo em pontos para você começar a desenhar (cada linha indica o ponto e o vetor resultante):
Desenhe essas setas na sua grade: por exemplo em
uma seta apontando na direção
(diagonal nordeste), em
uma seta apontando para noroeste, etc. Isso já revela um padrão: as setas giram e aumentam de tamanho com a distância ao origem.
Passo 3
Interpretação linear e matriz: o campo é linear em
. Posso escrever
Isto significa que em cada ponto o vetor é obtido aplicando a transformação linear
ao vetor posição
. Para esboçar: a transformação
combina rotação e alongamento, então o campo terá setas que giram e crescem com a distância.]
Passo 4
Cálculo da divergência e do rotor (em 2D, rotor escalar) para entender comportamento local:
Interpretação física simples: divergência positiva (
) indica que, em média, os vetores tendem a “afastar” do ponto (expansão). Rotor positivo (
) indica rotação no sentido anti-horário. Juntando os dois: o campo é localmente um giro anti-horário combinado com expansão — ou seja, espirais que saem do centro.
Passo 5
Análise dos autovalores para caracterizar globalmente: a equação característica de
é
com
e
. Logo
Os autovalores complexos com parte real positiva (
) significam que as trajetórias lineares associadas à dinâmica
são espirais que se afastam do origem enquanto giram — isto confirma a conclusão da divergência/rotor: origem é uma fonte-espiral (instável) no sentido anti-horário.
Passo 6
Resolver as linhas de fluxo (trajectórias) para ver as curvas que os vetores tangenciam. Considere o sistema ordinário
Uma maneira elegante é passar para a variável complexa
. Então
Isso dá solução explícita
Das fórmulas
e
segue que as trajetórias no plano são espirais logarítmicas que saem do centro com sentido anti-horário. Em coordenadas polares a relação entre
e
na mesma curva é
(para alguma constante
que depende da curva/condição inicial), mostrando explicitamente o formato de espiral.]
Passo 7
Observações úteis para desenhar com qualidade (dicas práticas para a sua prova ou rascunho):
- Ponto crítico:
é o único ponto onde . - Eixos e linhas notáveis (use ao desenhar setas maiores para clareza):
Essas linhas são bons “marcadores” na sua figura: ao desenhar verá setas verticais sobre e horizontais sobre . - Escolha uma grade, por exemplo pontos
com . Calcule em cada ponto (como eu comecei no Passo 2) e desenhe as setas. Se desenhos ficaram com setas muito longas, normaliza comprimentos dividindo todos por uma constante (por exemplo o maior comprimento) — mas mantenha a direção. - Desenhe também algumas curvas integrais (trajetórias): a partir de alguns pontos iniciais desenhe a espiral que cresce e gira anti-horário (use a forma paramétrica
, variando de valores negativos para positivos para ver entrada e saída).
Passo 8
Resumo visual que você deve obter ao terminar o esboço:
- No entorno do origem as setas são pequenas e quase circulares; afastando-se, as setas ficam maiores (expansão).
- As setas giram no sentido anti-horário (rotacional positivo) e apontam para fora conforme aumentamos a distância (componente radial crescente).
- As linhas de campo (trajetórias) são espirais logarítmicas que partem do centro no sentido anti-horário.
Resposta
Campo linear cuja matriz é
; origem
é único ponto crítico e é uma fonte-espiral instável. As trajetórias são dadas por
, logo
,
, ou em forma polar
(espiral logarítmica). Exemplos de vetores para desenhar:
,
,
,
,
.]