Nas afirmações abaixo, assinale todas (e apenas) as que são verdadeiras
Se
para todo
e o limite
existe, então
.
Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está dizendo. Temos uma função
que é sempre maior que 1 para todo
real. Além disso, o limite de
quando
se aproxima de 0 existe. A afirmação que precisamos verificar é: "Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 é maior que 1."
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limites e como as funções se comportam perto de certos pontos.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
para todo
. Isso significa que, não importa qual valor de
a gente escolha,
sempre vai ser maior que 1.
Passo 3
Agora, o limite
existe. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de algum valor específico.
Passo 4
A pergunta é: esse limite necessariamente tem que ser maior que 1? Vamos pensar no seguinte: se
é sempre maior que 1, mas está se aproximando de 1, o limite pode ser igual a 1? Sim!
Passo 5
Vamos ver um exemplo para esclarecer isso. Considere a função
. Aqui,
para todo
diferente de 0. Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Ou seja,
, que não é maior que 1, mas igual a 1.
Resposta
A afirmação é falsa. O limite de
quando
se aproxima de 0 pode ser igual a 1, mesmo que
para todo
.