Seja
o quarto de elipse de equação
ou seja, aquele trecho da elipse localizado no primeiro quadrante, e considere a função escalar
definida em
.
(a) Encontre uma parametrização
de
, o vetor tangente
e um vetor normal
no ponto
.
(a) Encontre uma parametrização
Passo 1
O enunciado pede a parametrização do quarto de elipse
e, a partir dela, o vetor tangente e um vetor normal em cada ponto. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas: escolher um parâmetro
, expressar
em função de
, derivar para obter o tangente e usar a normal via gradiente da forma implícita da elipse.
Passo 2
Como a elipse padrão usa cosseno e seno, parametrize
com
. Isso garante
e
.
Passo 3
O vetor tangente é a derivada de
. Calculamos
Passo 4
Para um vetor normal não unitário, use o gradiente da função implícita
Temos
Em
isso vira
Multiplicando por
(para ficar mais “bonito”) obtemos também
que é um vetor normal em cada ponto.