Seja C o quarto de elipse de equação
x^216+y^225=1, x >= 0, y >= 0
ou seja, aquele trecho da elipse localizado no primeiro quadrante, e considere a função escalar f(x, y)=9 definida em R^2.
(a) Encontre uma parametrização r(t) de C, o vetor tangente r(t) e um vetor normal N no ponto r(t).

Passo 1

O enunciado pede a parametrização do quarto de elipse
x^216+y^225=1, x>=0,;y>=0
e, a partir dela, o vetor tangente e um vetor normal em cada ponto. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas: escolher um parâmetro t, expressar (x,y) em função de t, derivar para obter o tangente e usar a normal via gradiente da forma implícita da elipse.

Passo 2

Como a elipse padrão usa cosseno e seno, parametrize
vec r(t)=l(x(t),y(t)r)=l(4cos t,;5sin tr),
com tin[0,tfracpi2]. Isso garante x^2/16+y^2/25=cos^2t+sin^2t=1 e x,y>=0.

Passo 3

O vetor tangente é a derivada de vec r(t). Calculamos
vec r,'(t) =l(x'(t),y'(t)r) =l(-4sin t,;5cos tr)

Passo 4

Para um vetor normal não unitário, use o gradiente da função implícita
F(x,y)=x^216+y^225-1
Temos
nabla F(x,y) =l(2x16,;2y25r) =l(x8,;2y25r)
Em vec r(t) isso vira
vec N(t) =nabla Fl(vec r(t)r) =l(tfrac4cos t8,;tfrac2cdot5sin t25r) =l(tfrac12cos t,;tfrac25sin tr)
Multiplicando por 10 (para ficar mais “bonito”) obtemos também
vec N(t)=l(5cos t,;4sin tr),
que é um vetor normal em cada ponto.

Resposta

vec r(t)=l(4cos t,;5sin tr), tin[0,tfracpi2],
vec r,'(t)=l(-4sin t,;5cos tr),
vec N(t)=l(5cos t,;4sin tr)

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