Seja C o quarto de elipse de equação
x^216+y^225=1, x >= 0, y >= 0
ou seja, aquele trecho da elipse localizado no primeiro quadrante, e considere a função escalar f(x, y)=9 definida em R^2.
(b) Calcule a integral
integral f(x, y) d s

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC f(x,y),ds
onde C é o quarto de elipse tfracx^216+tfracy^225=1 em x>=0,y>=0 e f(x,y)=9.
O conteúdo aqui é “integral de linha de função escalar”: basta parametrizar C, calcular ds e avaliar f sob essa parametrização.

Passo 2

Parametrizamos o quarto de elipse por
x(t)=4cos t, y(t)=5sin t, tin[0,tfracpi2]
Então
dxdt=-4sin t, dydt=5cos t,
e por definição
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt =raiz16sin^2t+25cos^2t,dt

Passo 3

Como f(x,y)=9 é constante, a integral fica
integralC f,ds =9integral0^pi/2raiz16sin^2t+25cos^2t,dt =9integral0^pi/2raiz25-9sin^2t,dt
Reescrevendo
25-9sin^2t=25l(1-l(tfrac35r)^2sin^2tr)
leva a
integralC f,ds =9cdot5integral0^pi/2raiz1-l(tfrac35r)^2sin^2t,dt

Passo 4

A integral
integral0^pi/2raiz1-k^2sin^2t,dt
é o integral elíptico completo de segunda espécie E(k). Aqui k=tfrac35, logo
integralC f,ds =45,E!l(tfrac35r)

Resposta

integralC f(x,y),ds =45,E!l(tfrac35r),
onde
E!l(tfrac35r) =integral0^pi/2raiz1-l(tfrac35r)^2sin^2t,dt
é o integral elíptico completo de segunda espécie.

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