Mostre que, para quaisquer afirmações
e
, temos:
têm valores verdade equivalentes (i.e., ou ambas são falsas simultaneamente ou ambas são verdadeiras simultaneamente).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer proposições
e
, a implicação
é logicamente equivalente à sua contraposposta
. O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar a definição de valor-verdade de uma implicação e construir uma tabela de verdade.
Passo 2
Relembremos que, por definição, a implicação
é falsa somente quando
é verdadeira e
é falsa; em todos os outros casos ela é verdadeira. Vamos considerar as quatro combinações possíveis de valores de verdade de
e
e comparar os valores de verdade de
e de
Passo 3
Caso 1:
é verdadeira e
é verdadeira.
é
.
é
Passo 4
Caso 2:
é verdadeira e
é falsa.
é
.
é
Passo 5
Caso 3:
é falsa e
é verdadeira.
é
.
é
Passo 6
Caso 4:
é falsa e
é falsa.
é
.
é
Passo 7
Em todas as quatro situações os valores de verdade de
e de
coincidem. Logo, concluímos que as duas proposições são logicamente equivalentes.
Resposta
Mostramos que
e
têm exatamente os mesmos valores de verdade em todas as possibilidades de
e
, portanto são equivalentes logicamente.