Mostre que, para quaisquer afirmações P e Q, temos:
P \Rightarrow Q \mathrm{e} \sim Q \Rightarrow \sim P têm valores verdade equivalentes (i.e., ou ambas são falsas simultaneamente ou ambas são verdadeiras simultaneamente).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer proposições P e Q, a implicação P \Rightarrow Q é logicamente equivalente à sua contraposposta \lnot Q \Rightarrow \lnot P. O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar a definição de valor-verdade de uma implicação e construir uma tabela de verdade.

Passo 2

Relembremos que, por definição, a implicação A \Rightarrow B é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; em todos os outros casos ela é verdadeira. Vamos considerar as quatro combinações possíveis de valores de verdade de P e Q e comparar os valores de verdade de P \Rightarrow Q e de
\lnot Q \Rightarrow \lnot P.

Passo 3

Caso 1: P é verdadeira e Q é verdadeira. \;P \Rightarrow Q é \text{V}\Rightarrow\text{V}=\text{V}. \;\lnot Q \Rightarrow \lnot P é \lnot\text{V}\Rightarrow\lnot\text{V}=\text{F}\Rightarrow\text{F}=\text{V}.

Passo 4

Caso 2: P é verdadeira e Q é falsa. \;P \Rightarrow Q é \text{V}\Rightarrow\text{F}=\text{F}. \;\lnot Q \Rightarrow \lnot P é \lnot\text{F}\Rightarrow\lnot\text{V}=\text{V}\Rightarrow\text{F}=\text{F}.

Passo 5

Caso 3: P é falsa e Q é verdadeira. \;P \Rightarrow Q é \text{F}\Rightarrow\text{V}=\text{V}. \;\lnot Q \Rightarrow \lnot P é \lnot\text{V}\Rightarrow\lnot\text{F}=\text{F}\Rightarrow\text{T}=\text{V}.

Passo 6

Caso 4: P é falsa e Q é falsa. \;P \Rightarrow Q é \text{F}\Rightarrow\text{F}=\text{V}. \;\lnot Q \Rightarrow \lnot P é \lnot\text{F}\Rightarrow\lnot\text{F}=\text{V}\Rightarrow\text{V}=\text{V}.

Passo 7

Em todas as quatro situações os valores de verdade de P \Rightarrow Q e de \lnot Q \Rightarrow \lnot P coincidem. Logo, concluímos que as duas proposições são logicamente equivalentes.

Resposta

Mostramos que P \Rightarrow Q e \lnot Q \Rightarrow \lnot P têm exatamente os mesmos valores de verdade em todas as possibilidades de P e Q, portanto são equivalentes logicamente.

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