Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
(a) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) \Longrightarrow f é contínua em x=a;
(b) Se \lim _{x \rightarrow a}|f(x)| existe, então \lim _{x \rightarrow a} f(x) também existe;
(c) Se \lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=0, então \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre limites e continuidade de uma função f em x=a:
(a) igualdades dos limites laterais implicam continuidade;
(b) existência de \lim_{x\to a}|f(x)| implica existência de \lim_{x\to a}f(x);
(c) se \lim_{x\to a}|f(x)|=0 então \lim_{x\to a}f(x)=0.
O conteúdo é limites unilaterais, limites de composição e definição de continuidade.

Passo 2

Analisando (a): para f\) ser contínua em \(a\) precisamos que \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
A hipótese \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x) garante apenas que o limite existe, mas não que coincide com f(a). Exemplo:
f(x)=\begin{cases} 1,&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Aqui \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)=1\] mas \(f(0)=0, logo f não é contínua em 0. Assim (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): a existência de \lim_{x\to a}|f(x)|=L\) não obriga \(\lim_{x\to a}f(x)\) a existir. Um contraexemplo clássico é \[f(x)=\begin{cases} 1,&x>0,\\\\ -1,&x<0, \end{cases}
em a=0\]. Temos \(\lim_{x\to0}|f(x)|=1 mas \lim_{x\to0}f(x) não existe (os dois lados dão valores diferentes). Logo (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): se
\lim_{x\to a}|f(x)|=0
então, por definição de limite, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |\,|f(x)|-0|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta. Mas |\,|f(x)|-0|=|f(x)|, de modo que
|f(x)-0|\le|f(x)|<\varepsilon,
o que mostra \lim_{x\to a}f(x)=0. Portanto (c) é verdadeira.

Resposta

(c)

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