Calclule os seguintes limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}-6 x+1}{6 x^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite no infinito da função racional
\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}.
O conteúdo aqui é “limites de funções racionais no infinito” e vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de x, que é x^{3}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2} = \frac{x^{3}\bigl(5 - 6/x^{2} + 1/x^{3}\bigr)}{x^{3}\bigl(6 + 2/x^{3}\bigr)} = \frac{5 - 6/x^{2} + 1/x^{3}}{6 + 2/x^{3}}.

Passo 3

Quando x\to -\infty, temos
\frac{6}{x^{2}}\to 0, \quad \frac{1}{x^{3}}\to 0, \quad \frac{2}{x^{3}}\to 0.
Logo o quociente tende a
\frac{5 - 0 + 0}{6 + 0} = \frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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