Calclule os seguintes limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{3}+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x - \sqrt{x^3+3}\bigr).
Estamos diante de uma forma do tipo \infty - \infty. Para resolvê-la, vamos usar a racionalização por meio do conjugado.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada x + \sqrt{x^3+3}:
x - \sqrt{x^3+3} = \frac{(x - \sqrt{x^3+3})(x + \sqrt{x^3+3})}{x + \sqrt{x^3+3}} = \frac{x^2 - (x^3+3)}{x + \sqrt{x^3+3}} = \frac{-x^3 + x^2 - 3}{x + \sqrt{x^3+3}}.

Passo 3

Para estudar o comportamento quando x\to+\infty, fatoramos a maior potência envolvida, que é x^{3/2}. Dividimos numerador e denominador por x^{3/2}:
\frac{-x^3 + x^2 - 3}{x + \sqrt{x^3+3}} = \frac{-x^3\bigl(1 - \tfrac1x - \tfrac3{x^3}\bigr)}{x^{3/2}\Bigl(\tfrac{x}{x^{3/2}} + \tfrac{\sqrt{x^3+3}}{x^{3/2}}\Bigr)} = \frac{-x^3\bigl(1 - o(1)\bigr)}{x^{3/2}\bigl(x^{-1/2} + \sqrt{1+3/x^3}\bigr)}.
Quando x\to+\infty, temos x^{-1/2}\to0, \sqrt{1+3/x^3}\to1 e os termos o(1) desaparecem, restando
\frac{-x^3}{x^{3/2}}\;=\;-x^{3/2}\,\longrightarrow\,-\infty.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x - \sqrt{x^3+3}\bigr) = -\infty.

Resposta

-\infty

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